(2,5 pontos) Para que valores de k, os vetores ( k, 2,0,-1 ), ( 0,-1,2 k, 1 ), ( 0,2,1,0 ), ( 1,-k, 2,0 ) são L.I.?

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^4: \;v_1=(k,2,0,-1), \;v_2=(0,-1,2k,1), \;v_3=(0,2,1,0), \;v_4=(1,-k,2,0),
e pede os valores de k para que eles sejam linearmente independentes.
Conteúdo: independência linear em \mathbb{R}^4.
Estratégia: montar a matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e exigir \det\neq0.

Passo 2

Montamos a matriz M com esses vetores como linhas:
M = \begin{pmatrix} k & 2 & 0 & -1\\\\ 0 & -1 & 2k & 1\\\\ 0 & 2 & 1 & 0\\\\ 1 & -k & 2 & 0 \end{pmatrix}.
A condição de independência é
\det M \neq 0.

Passo 3

Expandindo \det M pela primeira coluna, cuja única entradas não nulas são k (posição (1,1)) e 1 (posição (4,1)), obtemos
\det M = k\,D_1 \;-\;1\cdot D_2,
onde
D_1 = \det\begin{pmatrix} -1 & 2k & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ -k & 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad D_2 = \det\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1\\\\ -1 & 2k & 1\\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos cada menor de ordem 3:
D_1 = -1\,(1\cdot0 - 0\cdot2) -2k\,(2\cdot0 - 0\cdot(-k)) +1\,(2\cdot2 -1\cdot(-k)) = 4 + k.
D_2 = 2\,(2k\cdot0 -1\cdot1) -0\,(\dots) +(-1)\,((-1)\cdot1 - 2k\cdot2) = -2 + (1+4k) = 4k -1.
Logo
\det M = k\,(4 + k)\;-\;(4k -1) = k^2 +1.

Passo 5

Para que os vetores sejam L.I. precisamos de \det M\neq0, isto é
k^2 +1 \neq 0.
Como k^2+1\ge1 para todo k\in\mathbb{R}, essa desigualdade vale para todos os k reais.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes para todo k\in\mathbb{R}.

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