Seja a um inteiro. Mostre que:
a^{2}-a é divisível por 2 ;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que sabemos:
  • Pedido: mostrar que a^{2}-a é divisível por 2.
  • Dado: a é um número inteiro (qualquer inteiro).
  • Observação importante: "divisível por 2" significa que existe um inteiro m tal que a^{2}-a=2m.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): para provar que algo é divisível por 2 costuma-se analisar a paridade de a: ou a é par (divisível por 2) ou a é ímpar. Essas duas possibilidades cobrem todos os inteiros. Vou tratar os dois casos separadamente e mostrar em cada caso que existe um inteiro m com a^{2}-a=2m.

Passo 3

Definição de paridade e notação que vou usar:
  • Dizemos que a é par quando existe um inteiro k tal que a=2k.
  • Dizemos que a é ímpar quando existe um inteiro k tal que a=2k+1.
    Essas duas formas são úteis porque permitem reescrever a^{2}-a explicitamente em termos de k e fatorar o 2.

Passo 4

Caso 1 — a é par.
Suponha que a seja par, então existe k\in\mathbb{Z} tal que a=2k. Calcula-se:
a^{2}-a=(2k)^{2}-(2k)=4k^{2}-2k=2\bigl(2k^{2}-k\bigr).
Aqui \bigl(2k^{2}-k\bigr) é um inteiro, logo a^{2}-a é múltiplo de 2. Em outras palavras, existe m=2k^{2}-k\in\mathbb{Z} tal que a^{2}-a=2m.

Passo 5

Caso 2 — a é ímpar.
Suponha que a seja ímpar, então existe k\in\mathbb{Z} tal que a=2k+1. Calcula-se:
a^{2}-a=(2k+1)^{2}-(2k+1)=4k^{2}+4k+1-2k-1=4k^{2}+2k=2\bigl(2k^{2}+k\bigr).
Novamente \bigl(2k^{2}+k\bigr) é um inteiro, logo a^{2}-a é múltiplo de 2. Ou seja, existe m=2k^{2}+k\in\mathbb{Z} com a^{2}-a=2m.

Passo 6

Interpretação mais curta (intuitiva) usando fatoração:
Note que
a^{2}-a=a(a-1).
Isto é o produto de dois inteiros consecutivos. Entre dois inteiros consecutivos um deles é necessariamente par (ou seja, divisível por 2). Portanto o produto a(a-1) tem um fator 2 e assim é divisível por 2. Essa observação resume os dois casos anteriores num só argumento simples.

Passo 7

Conclusão final: em ambos os casos (ou pelo argumento do produto de consecutivos) encontramos um inteiro m tal que a^{2}-a=2m. Logo a^{2}-a é divisível por 2 para todo inteiro a.

Resposta

2\mid (a^{2}-a), ou seja, a^{2}-a é divisível por 2 para todo inteiro a.

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