Seja
um inteiro. Mostre que:
é divisível por 2 ;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que sabemos:
- Pedido: mostrar que
é divisível por . - Dado:
é um número inteiro (qualquer inteiro). - Observação importante: "divisível por
" significa que existe um inteiro tal que .
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): para provar que algo é divisível por
costuma-se analisar a paridade de
: ou
é par (divisível por
) ou
é ímpar. Essas duas possibilidades cobrem todos os inteiros. Vou tratar os dois casos separadamente e mostrar em cada caso que existe um inteiro
com
.
Passo 3
Definição de paridade e notação que vou usar:
- Dizemos que
é par quando existe um inteiro tal que . - Dizemos que
é ímpar quando existe um inteiro tal que .
Essas duas formas são úteis porque permitem reescreverexplicitamente em termos de e fatorar o .
Passo 4
Caso 1 —
é par.
Suponha que seja par, então existe
tal que
. Calcula-se:
Suponha que
Aqui
é um inteiro, logo
é múltiplo de
. Em outras palavras, existe
tal que
.
Passo 5
Caso 2 —
é ímpar.
Suponha que seja ímpar, então existe
tal que
. Calcula-se:
Suponha que
Novamente
é um inteiro, logo
é múltiplo de
. Ou seja, existe
com
.
Passo 6
Interpretação mais curta (intuitiva) usando fatoração:
Note que
Note que
Isto é o produto de dois inteiros consecutivos. Entre dois inteiros consecutivos um deles é necessariamente par (ou seja, divisível por
). Portanto o produto
tem um fator
e assim é divisível por
. Essa observação resume os dois casos anteriores num só argumento simples.
Passo 7
Conclusão final: em ambos os casos (ou pelo argumento do produto de consecutivos) encontramos um inteiro
tal que
. Logo
é divisível por
para todo inteiro
.