Mostre que
para qualquer inteiro
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pedido: mostrar que
para qualquer inteiro . Ou seja, provar que nenhum inteiro faz com que seja múltiplo de . - Informação dada:
é um número inteiro arbitrário. Não há outras hipóteses.
Passo 2
Ideia geral e ferramentas que vamos usar (explicando os conceitos).
- Definição de divisibilidade que vamos usar: dizemos que
se existe um inteiro tal que . Se isso não ocorre, escrevemos . - Fato básico sobre inteiros: todo inteiro é ou par ou ímpar. Isso significa que para algum inteiro
temos ou (par) ou (ímpar). Vamos analisar esses dois casos separadamente — é uma técnica simples e segura. - Outra linguagem útil é a aritmética modular: dizer que
significa que deixa resto na divisão por . Mostrar que é congruente a ou módulo já basta para concluir que não é congruente a , logo não é múltiplo de .
Passo 3
Caso 1:
é par. (Mostro cada passo das contas.)
- Escrevo
para algum inteiro . - Calculo
:
- Factorizando:
- Observação:
é um inteiro ímpar (produto é par e somando fica ímpar). Assim é exatamente duas vezes um inteiro ímpar, isto é, é múltiplo de mas não de . - Em termos de restos ao dividir por
: . Como o resto não é , temos neste caso.
Passo 4
Caso 2:
é ímpar. (Novamente explico direitinho as contas.)
- Escrevo
para algum inteiro . - Calculo
:
- Reescrevo:
- Aqui fica claro que ao dividir por
o resto é , ou seja
- Como o resto não é
, concluímos também neste caso que .
Passo 5
Conclusão combinando os dois casos.
- Todo inteiro
é ou par ou ímpar. Em ambos os casos (Passo 3 e Passo 4) mostramos que deixa resto ou na divisão por . Em nenhum caso o resto é . - Portanto, não existe inteiro
tal que . Ou seja, para todo inteiro vale .
Passo 6
Uma visão alternativa curta (útil para provas rápidas): via restos de quadrados módulo
.
- Observação rápida: para qualquer inteiro
tem-se se é par, e se é ímpar. Logo só pode ser ou módulo . - Então
- Nem
nem são congruentes a módulo , logo para qualquer . Mesmo resultado, forma mais curta.
Resposta
Para todo inteiro
,
.