Mostre que 4 \nmid n 2+2 para qualquer inteiro n.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pedido: mostrar que 4\nmid n^2+2 para qualquer inteiro n. Ou seja, provar que nenhum inteiro n faz com que n^2+2 seja múltiplo de 4.
  • Informação dada: n é um número inteiro arbitrário. Não há outras hipóteses.

Passo 2

Ideia geral e ferramentas que vamos usar (explicando os conceitos).
  • Definição de divisibilidade que vamos usar: dizemos que 4\mid m se existe um inteiro t tal que m=4t. Se isso não ocorre, escrevemos 4\nmid m.
  • Fato básico sobre inteiros: todo inteiro é ou par ou ímpar. Isso significa que para algum inteiro k temos ou n=2k (par) ou n=2k+1 (ímpar). Vamos analisar esses dois casos separadamente — é uma técnica simples e segura.
  • Outra linguagem útil é a aritmética modular: dizer que m\equiv r\pmod{4} significa que m deixa resto r na divisão por 4. Mostrar que n^2+2 é congruente a 2 ou 3 módulo 4 já basta para concluir que não é congruente a 0, logo não é múltiplo de 4.

Passo 3

Caso 1: n é par. (Mostro cada passo das contas.)
  • Escrevo n=2k para algum inteiro k.
  • Calculo n^2+2:
n^2+2=(2k)^2+2=4k^2+2.
  • Factorizando:
4k^2+2=2(2k^2+1).
  • Observação: 2k^2+1 é um inteiro ímpar (produto 2k^2 é par e somando 1 fica ímpar). Assim n^2+2 é exatamente duas vezes um inteiro ímpar, isto é, é múltiplo de 2 mas não de 4.
  • Em termos de restos ao dividir por 4: 4k^2+2\equiv 2\pmod{4}. Como o resto não é 0, temos 4\nmid n^2+2 neste caso.

Passo 4

Caso 2: n é ímpar. (Novamente explico direitinho as contas.)
  • Escrevo n=2k+1 para algum inteiro k.
  • Calculo n^2+2:
n^2+2=(2k+1)^2+2=4k^2+4k+1+2=4k^2+4k+3.
  • Reescrevo:
4k^2+4k+3=4(k^2+k)+3.
  • Aqui fica claro que ao dividir por 4 o resto é 3, ou seja
n^2+2\equiv 3\pmod{4}.
  • Como o resto não é 0, concluímos também neste caso que 4\nmid n^2+2.

Passo 5

Conclusão combinando os dois casos.
  • Todo inteiro n é ou par ou ímpar. Em ambos os casos (Passo 3 e Passo 4) mostramos que n^2+2 deixa resto 2 ou 3 na divisão por 4. Em nenhum caso o resto é 0.
  • Portanto, não existe inteiro n tal que 4\mid n^2+2. Ou seja, para todo inteiro n vale 4\nmid n^2+2.

Passo 6

Uma visão alternativa curta (útil para provas rápidas): via restos de quadrados módulo 4.
  • Observação rápida: para qualquer inteiro n tem-se n^2\equiv 0\pmod{4} se n é par, e n^2\equiv 1\pmod{4} se n é ímpar. Logo n^2 só pode ser 0 ou 1 módulo 4.
  • Então
n^2+2\equiv 0+2\equiv 2\pmod{4}\quad\text{ou}\quad n^2+2\equiv 1+2\equiv 3\pmod{4}.
  • Nem 2 nem 3 são congruentes a 0 módulo 4, logo n^2+2\not\equiv 0\pmod{4} para qualquer n. Mesmo resultado, forma mais curta.

Resposta

Para todo inteiro n, 4\nmid n^2+2.

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