Prove que se
é um número inteiro, então
.
Passo 1
O enunciado pede que se prove que, para todo inteiro
, vale
Lista das informações dadas (tudo o que vou usar):
-
é um número inteiro arbitrário. - Quero mostrar que o produto
é múltiplo de .
Observação útil para organizar a prova: a fatorização prima de
é
Logo basta mostrar que
,
e
dividem o produto
. Vou provar cada divisibilidade separadamente e então concluir.
Passo 2
Reescrevendo o produto em forma mais intuitiva: note que
Assim
Agrupando um dos fatores
com os outros, obtemos a identidade muito útil
ou seja,
é o produto de cinco inteiros consecutivos
. Portanto o número que queremos estudar é
Vou usar propriedades simples sobre cinco inteiros consecutivos para obter fatores
e
, e um argumento por casos para garantir
.
Passo 3
Entre cinco inteiros consecutivos sempre existe um múltiplo de
(os restos mod
se repetem a cada cinco números). Como
são cinco inteiros consecutivos, o produto
é múltiplo de
. Como o meu número alvo é
ele também é múltiplo de
. Portanto
.
Passo 4
Vou analisar dois casos segundo se
divide
ou não.
Caso 1:
. Então
e
, portanto
. Logo
divide o produto
.
Caso 2:
. Então
ou
. Observe os cinco números
reduzidos mod
:
-
Se
, então as classes são , , , , . Há dois múltiplos de nessa lista: e . Assim o produto dos cinco números contém pelo menos como fator. -
Se
, então as classes são , , , , . Novamente aparecem dois múltiplos de : e . Logo o produto contém pelo menos .
Em ambos os subcasos de
o produto
é múltiplo de
. Como o número que queremos é
vezes esse produto, concluímos que
também. Assim, em todos os casos
divide o número.
Passo 5
Olhe de novo para os cinco inteiros consecutivos
. Vou contar os fatores de
mínimos que aparecem no produto desses cinco números.
-
Entre cinco inteiros consecutivos há pelo menos dois pares de números de paridade diferente; mais concretamente, há pelo menos dois números pares. Se
é ímpar, então os pares são e ; são dois números pares consecutivos por 2, e entre dois pares consecutivos um deles é múltiplo de . Assim, quando é ímpar esses dois pares contribuem com pelo menos como fator, ou seja, pelo menos . -
Se
é par, então são pares — três pares — e entre três pares consecutivos por 2 existe pelo menos um múltiplo de . Portanto o produto dos cinco números tem pelo menos como fator também (na prática aparece ainda mais potência de , mas não precisamos disso).
Formalizando de maneira compacta: entre cinco inteiros consecutivos há pelo menos dois números pares e pelo menos um múltiplo de
, logo o produto
é divisível por
. Como o número que queremos é
vezes esse produto, ele também é divisível por
. Portanto
.
(Um atalho válido: é conhecido que o produto de cinco inteiros consecutivos é sempre múltiplo de
, e
já contém o fator
. A argumentação acima dá a mesma conclusão de forma elementar.)
Passo 6
Juntando os resultados dos passos anteriores temos:
Como
são primos (ou potências de primos) distintos, o produto deles divide o número. Ou seja,