Prove que se a é um número inteiro, então 360 \mid a^{2}\left(a^{2}-1\right)\left(a^{2}-4\right).

Passo 1

O enunciado pede que se prove que, para todo inteiro a, vale
360 \mid a^{2}\bigl(a^{2}-1\bigr)\bigl(a^{2}-4\bigr).
Lista das informações dadas (tudo o que vou usar):
  • a é um número inteiro arbitrário.
  • Quero mostrar que o produto \;a^{2}(a^{2}-1)(a^{2}-4)\; é múltiplo de 360.
Observação útil para organizar a prova: a fatorização prima de 360 é
360 = 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5.
Logo basta mostrar que 2^{3}, 3^{2} e 5 dividem o produto \;a^{2}(a^{2}-1)(a^{2}-4)\;. Vou provar cada divisibilidade separadamente e então concluir.

Passo 2

Reescrevendo o produto em forma mais intuitiva: note que
a^{2}-1=(a-1)(a+1),\qquad a^{2}-4=(a-2)(a+2).
Assim
a^{2}\bigl(a^{2}-1\bigr)\bigl(a^{2}-4\bigr) = a^{2}\,(a-1)(a+1)(a-2)(a+2).
Agrupando um dos fatores a com os outros, obtemos a identidade muito útil
a\bigl(a^{2}-1\bigr)\bigl(a^{2}-4\bigr)=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2),
ou seja, a(a^{2}-1)(a^{2}-4) é o produto de cinco inteiros consecutivos (a-2),(a-1),a,(a+1),(a+2). Portanto o número que queremos estudar é
a^{2}\bigl(a^{2}-1\bigr)\bigl(a^{2}-4\bigr)=a\cdot\bigl[(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)\bigr].
Vou usar propriedades simples sobre cinco inteiros consecutivos para obter fatores 2^{3} e 5, e um argumento por casos para garantir 3^{2}.

Passo 3

Entre cinco inteiros consecutivos sempre existe um múltiplo de 5 (os restos mod 5 se repetem a cada cinco números). Como (a-2),(a-1),a,(a+1),(a+2) são cinco inteiros consecutivos, o produto
(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)
é múltiplo de 5. Como o meu número alvo é
a\cdot\bigl[(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)\bigr],
ele também é múltiplo de 5. Portanto 5\mid a^{2}(a^{2}-1)(a^{2}-4).

Passo 4

Vou analisar dois casos segundo se 3 divide a ou não.
Caso 1: 3\mid a. Então a=3k e a^{2}=9k^{2}, portanto 9\mid a^{2}. Logo 9 divide o produto a^{2}(a^{2}-1)(a^{2}-4).
Caso 2: 3\nmid a. Então a\equiv 1 ou a\equiv 2\pmod{3}. Observe os cinco números (a-2),(a-1),a,(a+1),(a+2) reduzidos mod 3:
  • Se a\equiv 1\pmod{3}, então as classes são a-2\equiv 2, a-1\equiv 0, a\equiv 1, a+1\equiv 2, a+2\equiv 0. Há dois múltiplos de 3 nessa lista: a-1 e a+2. Assim o produto dos cinco números contém pelo menos 3^{2} como fator.
  • Se a\equiv 2\pmod{3}, então as classes são a-2\equiv 0, a-1\equiv 1, a\equiv 2, a+1\equiv 0, a+2\equiv 1. Novamente aparecem dois múltiplos de 3: a-2 e a+1. Logo o produto contém pelo menos 3^{2}.
Em ambos os subcasos de 3\nmid a o produto (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) é múltiplo de 9. Como o número que queremos é a vezes esse produto, concluímos que 9\mid a^{2}(a^{2}-1)(a^{2}-4) também. Assim, em todos os casos 9 divide o número.

Passo 5

Olhe de novo para os cinco inteiros consecutivos (a-2),(a-1),a,(a+1),(a+2). Vou contar os fatores de 2 mínimos que aparecem no produto desses cinco números.
  • Entre cinco inteiros consecutivos há pelo menos dois pares de números de paridade diferente; mais concretamente, há pelo menos dois números pares. Se a é ímpar, então os pares são a-1 e a+1; são dois números pares consecutivos por 2, e entre dois pares consecutivos um deles é múltiplo de 4. Assim, quando a é ímpar esses dois pares contribuem com pelo menos 2\cdot 4 = 8 como fator, ou seja, pelo menos 2^{3}.
  • Se a é par, então a-2,a,a+2 são pares — três pares — e entre três pares consecutivos por 2 existe pelo menos um múltiplo de 4. Portanto o produto dos cinco números tem pelo menos 2^{3} como fator também (na prática aparece ainda mais potência de 2, mas não precisamos disso).
Formalizando de maneira compacta: entre cinco inteiros consecutivos há pelo menos dois números pares e pelo menos um múltiplo de 4, logo o produto (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) é divisível por 2\cdot 4=8. Como o número que queremos é a vezes esse produto, ele também é divisível por 8. Portanto 8\mid a^{2}(a^{2}-1)(a^{2}-4).
(Um atalho válido: é conhecido que o produto de cinco inteiros consecutivos é sempre múltiplo de 5!, e 5!=120 já contém o fator 2^{3}. A argumentação acima dá a mesma conclusão de forma elementar.)

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores temos:
2^{3}\mid a^{2}(a^{2}-1)(a^{2}-4),\qquad 3^{2}\mid a^{2}(a^{2}-1)(a^{2}-4),\qquad 5\mid a^{2}(a^{2}-1)(a^{2}-4).
Como 2^{3},3^{2},5 são primos (ou potências de primos) distintos, o produto deles divide o número. Ou seja,
2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5 = 360 \mid a^{2}(a^{2}-1)(a^{2}-4).

Resposta

360 \mid a^{2}\bigl(a^{2}-1\bigr)\bigl(a^{2}-4\bigr).

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