Usando o Algoritmo da Divisāo, mostre que:
o cubo de todo inteiro é da forma 7 k ou 7 k+1 ou 7 k+6.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, para todo inteiro, o seu cubo é de uma das três formas \,7k, \,7k+1 ou \,7k+6.
Informações dadas (explicitamente ou implícitas):
  • Há um inteiro genérico, que vou chamar de n.
  • Precisa-se dar uma descrição da forma de n^3 usando múltiplos de 7 (ou múltiplos de 7 mais 1 ou mais 6).

Passo 2

Aplicar o Algoritmo da Divisão para escrever n em termos de quociente e resto ao dividir por 7.
Enunciado do Algoritmo da Divisão (versão usada aqui): para todo inteiro n existem únicos inteiros q (quociente) e r (resto) tais que
n = 7q + r
com
0 \le r \le 6.
Explicação didática: isso significa que, ao dividir qualquer inteiro por 7, o resto possível só pode ser um dos números 0,1,2,3,4,5,6. Por exemplo, se n=10 então 10 = 7\cdot1 + 3, logo q=1 e r=3.

Passo 3

Elevar ambos os lados ao cubo e expandir usando a fórmula do cubo da soma (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Tomando a=7q e b=r obtemos
n^3 = (7q + r)^3 = (7q)^3 + 3(7q)^2 r + 3(7q) r^2 + r^3.
Agora calculo cada termo em destaque e mostro que todos, exceto r^3, são múltiplos de 7:
(7q)^3 = 343 q^3 = 7\cdot(49 q^3),
3(7q)^2 r = 3\cdot49 q^2 r = 147 q^2 r = 7\cdot(21 q^2 r),
3(7q) r^2 = 21 q r^2 = 7\cdot(3 q r^2).
Somando esses três termos, todos são múltiplos de 7. Então posso escrever
n^3 = 7\bigl(49 q^3 + 21 q^2 r + 3 q r^2\bigr) + r^3.
Definindo o inteiro
K := 49 q^3 + 21 q^2 r + 3 q r^2,
temos
n^3 = 7K + r^3.
Isto mostra que o resto da divisão de n^3 por 7 é igual ao resto da divisão de r^3 por 7.

Passo 4

Agora basta analisar os possíveis valores de r (lembre: r\in\{0,1,2,3,4,5,6\}) e calcular r^3 módulo 7. Faço os cálculos um a um (ou em pares usando simplificações):
  • r=0:\quad r^3 = 0. Resultado módulo 7: 0.
  • r=1:\quad r^3 = 1. Resultado módulo 7: 1.
  • r=2:\quad r^3 = 8 = 7\cdot1 + 1. Resultado módulo 7: 1.
  • r=3:\quad r^3 = 27 = 7\cdot3 + 6. Resultado módulo 7: 6.
  • r=4:\quad r^3 = 64 = 7\cdot9 + 1. Resultado módulo 7: 1.
  • r=5:\quad r^3 = 125 = 7\cdot17 + 6. Resultado módulo 7: 6.
  • r=6:\quad r^3 = 216 = 7\cdot30 + 6. Resultado módulo 7: 6.
Resumo dos restos de r^3 quando dividido por 7: só aparecem os valores 0, 1 e 6.
Observação curta e intuitiva: alguns restos dão 1 (por exemplo 1^3,2^3,4^3) e outros dão 6 (por exemplo 3^3,5^3,6^3); isso já basta para classificar todos os casos.

Passo 5

Juntando com a expressão do Passo 3, como n^3 = 7K + r^3 e r^3 só pode ser 0, 1 ou 6, concluímos que n^3 é sempre da forma
7K \quad\text{ou}\quad 7K+1 \quad\text{ou}\quad 7K+6,
onde K é inteiro (dependendo de q e r). Em outras palavras, o cubo de qualquer inteiro é congruente a 0, 1 ou -1 modulo 7 (isto é, 0,1 ou 6 como restos).
Exemplo numérico para fixar: se n=10 então 10=7\cdot1+3, como vimos 3^3=27=7\cdot3+6, e de fato 10^3=1000=7\cdot142+6.

Resposta

Para todo inteiro n existe um inteiro k tal que o seu cubo é da forma 7k ou 7k+1 ou 7k+6.

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