Usando o Algoritmo da Divisāo, mostre que:
o cubo de todo inteiro é da forma
ou
ou
.
o cubo de todo inteiro é da forma
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que, para todo inteiro, o seu cubo é de uma das três formas
,
ou
.
Informações dadas (explicitamente ou implícitas):
- Há um inteiro genérico, que vou chamar de
. - Precisa-se dar uma descrição da forma de
usando múltiplos de (ou múltiplos de mais 1 ou mais 6).
Passo 2
Aplicar o Algoritmo da Divisão para escrever
em termos de quociente e resto ao dividir por
.
Enunciado do Algoritmo da Divisão (versão usada aqui): para todo inteiro
existem únicos inteiros
(quociente) e
(resto) tais que
com
Explicação didática: isso significa que, ao dividir qualquer inteiro por
, o resto possível só pode ser um dos números
. Por exemplo, se
então
, logo
e
.
Passo 3
Elevar ambos os lados ao cubo e expandir usando a fórmula do cubo da soma
.
Tomando
e
obtemos
Agora calculo cada termo em destaque e mostro que todos, exceto
, são múltiplos de
:
Somando esses três termos, todos são múltiplos de
. Então posso escrever
Definindo o inteiro
temos
Isto mostra que o resto da divisão de
por
é igual ao resto da divisão de
por
.
Passo 4
Agora basta analisar os possíveis valores de
(lembre:
) e calcular
módulo
. Faço os cálculos um a um (ou em pares usando simplificações):
-
. Resultado módulo : . -
. Resultado módulo : . -
. Resultado módulo : . -
. Resultado módulo : . -
. Resultado módulo : . -
. Resultado módulo : . -
. Resultado módulo : .
Resumo dos restos de
quando dividido por
: só aparecem os valores
,
e
.
Observação curta e intuitiva: alguns restos dão
(por exemplo
) e outros dão
(por exemplo
); isso já basta para classificar todos os casos.
Passo 5
Juntando com a expressão do Passo 3, como
e
só pode ser
,
ou
, concluímos que
é sempre da forma
onde
é inteiro (dependendo de
e
). Em outras palavras, o cubo de qualquer inteiro é congruente a
,
ou
modulo
(isto é,
ou
como restos).
Exemplo numérico para fixar: se
então
, como vimos
, e de fato
.
Resposta
Para todo inteiro
existe um inteiro
tal que o seu cubo é da forma
ou
ou
.