Considere as bases de R^3, alpha=[c-2 0 1],[c0 -1 1],[l2 1 0] e beta=[l1 1 1],[l1 0 1],[l0 0 1], calcule [I]beta^alpha e [I]alpha^beta
Seja C a base canônica de R^3. Temos [I]beta^alpha=([I]C^beta)^-1[I]C^alpha. É claro que,
[I]C^alpha=[ccc -2 & 0 & 2 0 & -1 & 1 1 & 1 & 0 ] e [I]C^beta=[lll 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 ]
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[I]beta^alpha & =[lll 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 ]^-1[ccc -2 & 0 & 2 0 & -1 & 1 1 & 1 & 0 ] & =[ccc 0 & 1 & 0 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 ][ccc -2 & 0 & 2 0 & -1 & 1 1 & 1 & 0 ] & =[ccc 0 & -1 & 1 -2 & 1 & 1 3 & 1 & -2 ]
Calculamos a outra mudança de base por inversão:
[I]alpha^beta=([I]beta^alpha)^-1=[ccc 0 & -1 & 1 -2 & 1 & 1 3 & 1 & -2 ]^-1=14[lll 3 & 1 & 2 1 & 3 & 2 5 & 3 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede as matrizes de mudança de base em R^3 entre
alpha=(-2,0,1),(0,-1,1),(2,1,0) e
beta=(1,1,1),(1,0,1),(0,0,1).
Usamos a base canônica C como intermediária, pois vale
[I]beta^alpha =l([I]C^betar)^-1,[I]C^alpha, [I]alpha^beta =l([I]beta^alphar)^-1

Passo 2

Montamos as matrizes cujas colunas são as coordenadas dos vetores de alpha e beta na base canônica:
[I]C^alpha = -2 & 0 & 2 0 & -1 & 1 1 & 1 & 0 , [I]C^beta = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1

Passo 3

Invertendo [I]C^beta (por eliminação de Gauss, por exemplo) obtemos
l([I]C^betar)^-1 = 0 & 1 & 0 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 1

Passo 4

Multiplicamos l([I]C^betar)^-1 por [I]C^alpha para achar [I]beta^alpha:
[I]beta^alpha = 0 & 1 & 0 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 -2 & 0 & 2 0 & -1 & 1 1 & 1 & 0 = 0 & -1 & 1 -2 & 1 & 1 3 & 1 & -2

Passo 5

Finalmente, invertemos [I]beta^alpha para obter [I]alpha^beta. O cálculo direto dá
[I]alpha^beta =l([I]beta^alphar)^-1 =tfrac14 3 & 1 & 2 1 & 3 & 2 5 & 3 & 2

Resposta

([I]_{\beta}^{\alpha}

,
\quad
[I]_{\alpha}^{\beta}
=\tfrac14
.)

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