Considere as bases de
e
beta=[l1 1 1],[l1 0 1],[l0 0 1] , calcule
[I]beta^alpha e
[I]alpha^beta
Seja
C a base canônica de
R^3 . Temos
[I]beta^alpha=([I]C^beta)^-1[I]C^alpha . É claro que,
[I]C^alpha=[ccc -2 & 0 & 2 0 & -1 & 1 1 & 1 & 0 ] e [I]C^beta=[lll 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 ]
logo:
[I]beta^alpha & =[lll 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 ]^-1[ccc -2 & 0 & 2 0 & -1 & 1 1 & 1 & 0 ] & =[ccc 0 & 1 & 0 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 ][ccc -2 & 0 & 2 0 & -1 & 1 1 & 1 & 0 ] & =[ccc 0 & -1 & 1 -2 & 1 & 1 3 & 1 & -2 ]
Calculamos a outra mudança de base por inversão:
[I]alpha^beta=([I]beta^alpha)^-1=[ccc 0 & -1 & 1 -2 & 1 & 1 3 & 1 & -2 ]^-1=14[lll 3 & 1 & 2 1 & 3 & 2 5 & 3 & 2 ]
Seja
Passo 1
O enunciado pede as matrizes de mudança de base em
R^3 entre
alpha=(-2,0,1),(0,-1,1),(2,1,0) e
beta=(1,1,1),(1,0,1),(0,0,1) .
Usamos a base canônicaC como intermediária, pois vale
Usamos a base canônica
Passo 2
Montamos as matrizes cujas colunas são as coordenadas dos vetores de
alpha e
beta na base canônica:
Passo 3
Invertendo
[I]C^beta (por eliminação de Gauss, por exemplo) obtemos
Passo 4
Multiplicamos
l([I]C^betar)^-1 por
[I]C^alpha para achar
[I]beta^alpha :
Passo 5
Finalmente, invertemos
[I]beta^alpha para obter
[I]alpha^beta . O cálculo direto dá
Resposta
([I]_{\beta}^{\alpha}
\quad
[I]_{\alpha}^{\beta}
=\tfrac14