Seja
um inteiro positivo cuja expressão na base
é dada por
onde os algarismos
. Mostre que:
se e somente se,
Passo 1
O enunciado dá um inteiro positivo
escrito em base
como
e pede para provar que
O conteúdo aqui é aritmética modular e o uso de congruências para testar divisibilidade por 11.
Passo 2
Vamos olhar
módulo 11. Como congruência respeita soma e produto, temos
Passo 3
Repare que
pois
. Elevando ao expoente
, obtemos
Passo 4
Substituindo
na soma, ficamos com
Portanto
e o valor alternado dos dígitos diferem por um múltiplo de 11.