Seja n um inteiro positivo cuja expressão na base b=10 é dada por
n=a_{k} \cdot b^{k}+a_{k-1} \cdot b^{k-1}+a_{k-2} \cdot b^{k-2}+\cdots+a_{2} \cdot b^{2}+a_{1} \cdot b+a_{0}
onde os algarismos a_{k}, a_{k-1}, a_{k-2}, \cdots, a_{2}, a_{1}, a_{0} \in\{0,1,2,3, \ldots, 9\}. Mostre que:
11 \mid n se e somente se, 11 \mid\left(a_{0}-a_{1}+a_{2}-\cdots+(-1)^{k} a_{k}\right)

Passo 1

O enunciado dá um inteiro positivo n escrito em base b=10 como
n = a_k\cdot10^k + a_{k-1}\cdot10^{k-1} + \cdots + a_1\cdot10 + a_0,
e pede para provar que
11\mid n \quad\Longleftrightarrow\quad 11\mid\bigl(a_0 - a_1 + a_2 - \cdots +(-1)^k a_k\bigr).
O conteúdo aqui é aritmética modular e o uso de congruências para testar divisibilidade por 11.

Passo 2

Vamos olhar n módulo 11. Como congruência respeita soma e produto, temos
n = \sum_{j=0}^k a_j\,10^j \quad\Longrightarrow\quad n \equiv \sum_{j=0}^k a_j\,10^j \pmod{11}.

Passo 3

Repare que
10 \equiv -1 \pmod{11},
pois 10 - (-1) = 11. Elevando ao expoente j, obtemos
10^j \equiv (-1)^j \pmod{11}.

Passo 4

Substituindo 10^j\equiv(-1)^j na soma, ficamos com
n \equiv \sum_{j=0}^k a_j\,(-1)^j = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots +(-1)^k a_k \pmod{11}.
Portanto n e o valor alternado dos dígitos diferem por um múltiplo de 11.

Resposta

11\mid n se e somente se
11 \mid \bigl(a_0 - a_1 + a_2 - \cdots +(-1)^k a_k\bigr).

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