b) Mostre, ainda, que os vetores dados pelas linhas não nulas de uma matriz–linha reduzida à forma escada são LI.
18. Considere o subespaço de \mathbf{R}^{4} gerado pelos vetores v_{1}=(1,-1,0,0), v_{2}=(0,0,1,1), v_{3}=(-2,2,1,1) e v_{4}=(1,0,0,0).
a) O vetor (2,-3,2,2) \in\left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right] ? Justifique.
b) Exiba uma base para \left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right]. Qual é a dimensão?
Pede-se:
a) verificar se o vetor \,(2,-3,2,2)\, pertence ao subespaço gerado por \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} e justificar;
b) exibir uma base para \left[v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right] e dizer a dimensão.
Vou usar apenas as informações acima; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
O que significa que um vetor w pertence ao espaço gerado por \{v_1,\dots,v_4\}? Significa que existem escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 tais que
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_4 = w.
Para decidir isso de maneira prática colocamos os vetores como colunas de uma matriz e resolvemos o sistema linear para as incógnitas \alpha_i. Além disso, para encontrar uma base do espaço gerado por esses vetores, vamos identificar quais colunas são linearmente independentes: ao reduzir a matriz por linhas, as colunas que contêm pivôs correspondem a vetores originais que formam uma base (explicarei por que isso é verdade quando surgir). Então vamos construir a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4.
Passo 3
Monte a matriz A com v_1,v_2,v_3,v_4 como colunas:
A matriz está agora em forma escalonada por linhas (há pivôs nas colunas 1, 2 e 4). O posto (rank) da matriz é o número de pivôs: \mathrm{rank}(A)=3.]
Passo 4
Interpretação dos pivôs para as colunas originais: as colunas 1, 2 e 4 de A contêm pivôs na forma escalonada, portanto as colunas originais v_1,v_2,v_4 são linearmente independentes e geram o mesmo subespaço que todas as quatro colunas juntas. Explicação rápida e intuitiva (para a prova): se uma combinação linear
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 + c_4 v_4 = 0
existisse com algum coeficiente não nulo, ao aplicar as mesmas operações de linha que usamos para reduzir A obteríamos uma combinação linear dos pivôs que dá zero; como cada pivô aparece em uma coluna exclusiva com o primeiro coeficiente não nulo naquela linha, isso força os coeficientes correspondentes aos pivôs a serem zero, e assim por indução todos os coeficientes são zero. Portanto as colunas com pivô são LI. Assim podemos escolher \{v_1,v_2,v_4\} como base candidata. Vou agora mostrar que v_3 é combinação desses três (logo não é necessário na base).
Passo 5
Encontre coeficientes a,b,c tais que
a v_1 + b v_2 + c v_4 = v_3.
Escrevendo componente a componente:
primeira componente: a + c = -2.
segunda componente: -a = 2\Rightarrow a=-2.
Com a=-2 temos c = -2 - a = -2 -(-2)=0.
terceira componente: b = 1.
quarta componente: b = 1 (consistente).
Portanto
v_3 = -2\,v_1 + 1\,v_2 + 0\,v_4.
Isso confirma que v_3 depende linearmente de v_1,v_2,v_4.
Passo 6
Agora respondo a parte (a) usando a base encontrada: quero \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_4 = (2,-3,2,2).
Escrevendo por componentes:
primeira: \alpha + \gamma = 2.
segunda: -\alpha = -3 \Rightarrow \alpha = 3.
Com \alpha=3 temos \gamma = 2 - \alpha = 2-3 = -1.
terceira: \beta = 2.
quarta: \beta = 2 (consistente).
Logo existe solução \alpha=3,\beta=2,\gamma=-1, e portanto
(2,-3,2,2)=3\,v_1+2\,v_2-1\,v_4.
Concluímos que o vetor está no subespaço gerado.
Passo 7
Resumo final e dimensão: como as colunas com pivô são v_1,v_2,v_4, elas formam uma base do subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_3,v_4\}. O número de vetores dessa base é o posto da matriz, que já vimos ser 3. Portanto a dimensão do subespaço é 3.
Resposta
(a) Sim. (2,-3,2,2)=3\,v_1+2\,v_2-1\,v_4.
(b) Uma base é \{\,v_1=(1,-1,0,0),\;v_2=(0,0,1,1),\;v_4=(1,0,0,0)\,\}. Dimensão =3.