Seja
a interseção do paraboloide
com o plano
, orientada no sentido antihorário quando projetada no plano
. Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. O problema envolve o paraboloide
e o plano
. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, calcular o rotacional do campo vetorial dado e então fazer uma integral de superfície. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
que está dentro da integral de linha. A integral é da forma:
Então, podemos escrever
como:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
, que é
. O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então, a primeira componente do rotacional é
.
Então, a segunda componente é
.
-
(porque não há em ) -
Então, a terceira componente é
.
Portanto, o rotacional de
é:
Passo 4
Segundo o Teorema de Stokes, a integral de linha
é igual à integral de superfície
, onde
é uma superfície limitada por
e
é o vetor normal à superfície.
Vamos escolher uma superfície simples para
. Nesse caso, como
é a interseção entre o paraboloide
e o plano
, podemos usar a parte do plano
como nossa superfície
.
Passo 5
Precisamos encontrar o vetor normal
à superfície
. Para o plano
, podemos reescrever a equação como
. O vetor normal a este plano é dado pelos coeficientes dos termos
,
e
, ou seja,
.
Para a integral, precisamos do vetor normal unitário, então vamos normalizar
:
Portanto, o vetor normal unitário é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora precisamos parametrizar a superfície
. Como
está no plano
e é a interseção com o paraboloide
, substituindo
na equação do paraboloide:
Isso representa um círculo no plano
com centro em
e raio 1.
Vamos usar coordenadas polares para parametrizar
. Definimos:
Onde
e
.
Agora, a integral de superfície fica:
Substituindo
e
:
Simplificando os termos exponenciais:
Calculando as integrais:
Então: