Seja C a interseção do paraboloide
z=x^2+y^2
com o plano z=2y, orientada no sentido antihorário quando projetada no plano xy. Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
integralC(z+e^z+y) d x+z^2 e^y d y+(x e^2 y+cos (3 z^2+1)) d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. O problema envolve o paraboloide z = x^2 + y^2 e o plano z = 2y . Para resolver, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, calcular o rotacional do campo vetorial dado e então fazer uma integral de superfície. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F que está dentro da integral de linha. A integral é da forma:
integralC (z + e^z + y) dx + z^2 e^y dy + (x e^2 y + cos (3 z^2+1)) dz
Então, podemos escrever F como:
F = ( z + e^z + y, , z^2 e^y, , x e^2 y + cos (3 z^2+1) )

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de F, que é nabla times F. O rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, , partial Ppartial z - partial Rpartial x, , partial Qpartial x - partial Ppartial y )
Vamos calcular cada componente:
  1. partial Rpartial y = partialpartial y ( x e^2 y + cos (3 z^2+1) ) = 2x e^2 y
  2. partial Qpartial z = partialpartial z ( z^2 e^y ) = 2z e^y
Então, a primeira componente do rotacional é 2x e^2 y - 2z e^y.
  1. partial Ppartial z = partialpartial z ( z + e^z + y ) = 1 + e^z
  2. partial Rpartial x = partialpartial x ( x e^2 y + cos (3 z^2+1) ) = e^2 y
Então, a segunda componente é 1 + e^z - e^2 y.
  1. partial Qpartial x = partialpartial x ( z^2 e^y ) = 0 (porque não há x em Q)
  2. partial Ppartial y = partialpartial y ( z + e^z + y ) = 1
Então, a terceira componente é 0 - 1 = -1.
Portanto, o rotacional de F é:
nabla times F = ( 2x e^2 y - 2z e^y, , 1 + e^z - e^2 y, , -1 )

Passo 4

Segundo o Teorema de Stokes, a integral de linha integralC F cdot dr é igual à integral de superfície integralS (nabla times F) cdot n , dS, onde S é uma superfície limitada por C e n é o vetor normal à superfície.
Vamos escolher uma superfície simples para S. Nesse caso, como C é a interseção entre o paraboloide z = x^2 + y^2 e o plano z = 2y, podemos usar a parte do plano z = 2y como nossa superfície S.

Passo 5

Precisamos encontrar o vetor normal n à superfície S. Para o plano z = 2y, podemos reescrever a equação como z - 2y = 0. O vetor normal a este plano é dado pelos coeficientes dos termos x, y e z, ou seja, n = (0, -2, 1).
Para a integral, precisamos do vetor normal unitário, então vamos normalizar n:
|n| = raiz0^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz5
Portanto, o vetor normal unitário é:
n = ( 0, , -2raiz5, , 1raiz5 )

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n:
(nabla times F) cdot n = (2x e^2 y - 2z e^y )(0) + (1 + e^z - e^2 y)(-2raiz5) + (-1)(1raiz5)
Simplificando:
= 0 + (1 + e^z - e^2 y)(-2raiz5) + (-1raiz5)
= -2(1 + e^z - e^2 y) - 1raiz5

Passo 7

Agora precisamos parametrizar a superfície S. Como S está no plano z = 2y e é a interseção com o paraboloide z = x^2 + y^2, substituindo z = 2y na equação do paraboloide:
2y = x^2 + y^2 implies y^2 - 2y + x^2 = 0 implies x^2 + (y - 1)^2 = 1
Isso representa um círculo no plano z = 2y com centro em (0,1,2) e raio 1.
Vamos usar coordenadas polares para parametrizar S. Definimos:
x = r cos theta
y = 1 + r sin theta
z = 2y = 2(1 + r sin theta)
Onde 0 <= r <= 1 e 0 <= theta < 2pi.
Agora, a integral de superfície fica:
integralS (nabla times F) cdot n , dS = integral0^2pi integral0^1 -2(1 + e^z - e^2 y) - 1raiz5 cdot r , dr , dtheta
Substituindo z = 2(1 + r sin theta) e y = 1 + r sin theta:
= -1raiz5 integral0^2pi integral0^1 (2(1 + e^2(1 + r sin theta) - e^2(1 + r sin theta)) + 1) r , dr , dtheta
Simplificando os termos exponenciais:
= -1raiz5 integral0^2pi integral0^1 (2(1) + 1) r , dr , dtheta = -3raiz5 integral0^2pi integral0^1 r , dr , dtheta
Calculando as integrais:
integral0^1 r , dr = 12
integral0^2pi dtheta = 2pi
Então:
-3raiz5 cdot 12 cdot 2pi = -3piraiz5

Resposta

integralC(z+e^z+y) d x+z^2 e^y d y+(x e^2 y+cos (3 z^2+1)) d z = -3piraiz5

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