Seja
a semiesfera
Calcule a integral
diretamente;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de superfície sobre uma semiesfera
definida por
. Isso está dentro da matéria de Cálculo de Várias Variáveis, mais especificamente envolvendo integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula da integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície
. A equação
representa a parte superior de uma esfera de raio 1 centrada na origem. Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas polares no plano XY.
Passo 3
Em coordenadas polares, temos que
e
, onde
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a
. A equação da superfície fica então
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
na superfície. Para uma superfície parametrizada em coordenadas polares, a fórmula é:
Mas, de forma simplificada para uma função
, temos:
Como
não depende de
, a derivada em relação a
é zero. Então:
Passo 5
Agora, vamos expressar a função que será integrada
em coordenadas polares:
Então:
Passo 6
A integral de superfície fica então:
Passo 7
Vamos simplificar a integral. Primeiro, observamos que a integral em
de 0 a
é apenas um fator de
. Então, podemos escrever:
Passo 8
Vamos distribuir o
na expressão:
Simplificando:
Passo 9
Vamos resolver as integrais separadamente. Primeira parte:
Fazendo a substituição
,
, então
.
A integral se transforma em:
Segunda parte:
Passo 10
Agora, juntando tudo:
Resposta
A integral vale
.