Seja S a semiesfera
z=raiz1-(x^2+y^2)
Calcule a integral
integralegral duplaS(x^2+y^2-z^3+z) d S
diretamente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de superfície sobre uma semiesfera S definida por z = raiz1 - (x^2 + y^2) . Isso está dentro da matéria de Cálculo de Várias Variáveis, mais especificamente envolvendo integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula da integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície S . A equação z = raiz1 - (x^2 + y^2) representa a parte superior de uma esfera de raio 1 centrada na origem. Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas polares no plano XY.

Passo 3

Em coordenadas polares, temos que x = r costheta e y = r sintheta , onde r varia de 0 a 1 e theta varia de 0 a 2pi . A equação da superfície fica então z = raiz1 - r^2 .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS na superfície. Para uma superfície parametrizada em coordenadas polares, a fórmula é:
dS = |nabla F||partial(z)/partial(r)| r dr dtheta
Mas, de forma simplificada para uma função z(r,theta) , temos:
dS = raiz(partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 , r dr dtheta
Como z não depende de theta , a derivada em relação a theta é zero. Então:
dS = raiz(-rraiz1 - r^2)^2 + 1 , r dr dtheta = 1raiz1 - r^2 r dr dtheta

Passo 5

Agora, vamos expressar a função que será integrada f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^3 + z em coordenadas polares:
x^2 + y^2 = r^2
z = raiz1 - r^2
Então:
f(r) = r^2 - (1 - r^2)^3/2 + raiz1 - r^2

Passo 6

A integral de superfície fica então:
integral duplaS f(x,y,z) , dS = integral0^2pi integral0^1 ( r^2 - (1 - r^2)^3/2 + raiz1 - r^2 ) cdot rraiz1 - r^2 , dr dtheta

Passo 7

Vamos simplificar a integral. Primeiro, observamos que a integral em theta de 0 a 2pi é apenas um fator de 2pi . Então, podemos escrever:
2pi integral0^1 ( r^2 - (1 - r^2)^3/2 + raiz1 - r^2 ) cdot rraiz1 - r^2 , dr

Passo 8

Vamos distribuir o rraiz1 - r^2 na expressão:
2pi integral0^1 ( r^3raiz1 - r^2 - r(1 - r^2) + rraiz1 - r^2 ) , dr
Simplificando:
2pi integral0^1 ( r^3 + rraiz1 - r^2 - r + r^3 ) , dr
= 2pi [ integral0^1 r(r^2 + 1)raiz1 - r^2 , dr + integral0^1 (r^3 - r) , dr ]

Passo 9

Vamos resolver as integrais separadamente. Primeira parte:
Fazendo a substituição , , então .
A integral se transforma em:
Segunda parte:

Passo 10

Agora, juntando tudo:
2pi ( 53 - 14 ) = 2pi ( 2012 - 312 ) = 2pi cdot 1712 = 176 pi

Resposta

A integral vale dfrac176 pi .

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