Seja
a sequência dada por
e
para todo
. Prove que:
Passo 1
O enunciado dá uma sequência
definida por condição inicial e recorrência:
O que devemos provar é a igualdade, válida para todo
:
Lista das informações relevantes:
- Valor inicial:
- Fórmula de recorrência:
- Objetivo: mostrar que
para todo (esta forma é equivalente ao enunciado e muitas vezes mais prática para provar).
Passo 2
Primeiro vamos calcular alguns termos iniciais para ver o padrão e entender a recorrência (isso ajuda muito na prova).
Calculemos usando a recorrência com
:
Calculemos
Agora
:
E
:
Observação prática: os valores que obtivemos obedecem ao padrão pedido?
- Para
: a fórmula do enunciado diz . Como , então — confere. - Para
: a fórmula diz — confere. - Para
: — confere.
Esses exemplos numéricos já sugerem a identidade. Agora vamos provar formalmente para todopor indução.
Passo 3
Explicação rápida do método que vamos usar (indução matemática), sem jargões:
- A ideia da indução é provar uma afirmação para todos os
em dois passos: - Base: mostrar que a afirmação vale para
. - Passo indutivo: supor que a afirmação vale para um certo
arbitrário e a partir daí provar que vale para .
- Base: mostrar que a afirmação vale para
- Se ambos os passos funcionam, então a propriedade vale para todo
.
Vou aplicar exatamente esse método à igualdade desejada. Para facilitar as contas, vou trabalhar com a forma equivalente
ou, alternativamente, usar a forma
quando fizer a hipótese indutiva.
Passo 4
Verificamos a base
. A afirmação que queremos para
é
Usando a recorrência:
E
. Portanto a igualdade é verdadeira para
. Concluímos que a base da indução está satisfeita.
Passo 5
Agora fazemos o passo indutivo. Seja
fixo e suponha que a hipótese indutiva é verdadeira, isto é suponha que
Essa hipótese é equivalente a
Vou usar esta última forma porque ela se encaixa bem com a recorrência: note que a recorrência pode ser reescrita como
Essa fatoração simples é apenas aplicar a propriedade distributiva:
. Agora substituímos a hipótese indutiva.
Passo 6
Substituindo
em
, obtemos:
Assim
que é exatamente a identidade que queríamos provar para o índice
. Portanto, se a propriedade vale para
então vale para
.
Passo 7
Tendo verificado a base (
) e mostrado que a verdade para
implica a verdade para
, pelo princípio da indução matemática a igualdade
é verdadeira para todo
. Se quiser, os exemplos numéricos do Passo 2 mostram concretamente os primeiros casos.