Seja \left(a_{n}\right) a sequência dada por a_{1}=2 e a_{n+1}=\left(a_{n}\right)^{2}-a_{n}+1 para todo n \geq 1. Prove que:
a_{n+1}=a_{n} \cdot a_{n-1} \cdot \ldots \cdot a_{2} \cdot a_{1}+1

Passo 1

O enunciado dá uma sequência \left(a_{n}\right) definida por condição inicial e recorrência:
a_{1}=2
a_{n+1}=\left(a_{n}\right)^{2}-a_{n}+1\quad\text{para todo }n\ge 1.
O que devemos provar é a igualdade, válida para todo n\ge 1:
a_{n+1}=a_{n}\cdot a_{n-1}\cdot\ldots\cdot a_{2}\cdot a_{1}+1.
Lista das informações relevantes:
  • Valor inicial: \,a_{1}=2.
  • Fórmula de recorrência: \,a_{n+1}=a_n^2-a_n+1.
  • Objetivo: mostrar que \,a_{n+1}-1=\prod_{k=1}^{n}a_k para todo n\ge1 (esta forma é equivalente ao enunciado e muitas vezes mais prática para provar).

Passo 2

Primeiro vamos calcular alguns termos iniciais para ver o padrão e entender a recorrência (isso ajuda muito na prova).
Calculemos \,a_{2} usando a recorrência com n=1:
a_{2}=a_{1}^{2}-a_{1}+1=2^{2}-2+1=4-2+1=3.
Agora a_{3}:
a_{3}=a_{2}^{2}-a_{2}+1=3^{2}-3+1=9-3+1=7.
E a_{4}:
a_{4}=a_{3}^{2}-a_{3}+1=7^{2}-7+1=49-7+1=43.
Observação prática: os valores que obtivemos obedecem ao padrão pedido?
  • Para n=1: a fórmula do enunciado diz a_{2}=a_{1}+1. Como a_{1}=2, então a_{2}=2+1=3 — confere.
  • Para n=2: a fórmula diz a_{3}=a_{2}a_{1}+1=3\cdot2+1=7 — confere.
  • Para n=3: a_{4}=a_{3}a_{2}a_{1}+1=7\cdot3\cdot2+1=42+1=43 — confere.
    Esses exemplos numéricos já sugerem a identidade. Agora vamos provar formalmente para todo n por indução.

Passo 3

Explicação rápida do método que vamos usar (indução matemática), sem jargões:
  • A ideia da indução é provar uma afirmação para todos os n\ge1 em dois passos:
    1. Base: mostrar que a afirmação vale para n=1.
    2. Passo indutivo: supor que a afirmação vale para um certo n arbitrário e a partir daí provar que vale para n+1.
  • Se ambos os passos funcionam, então a propriedade vale para todo n\ge1.
    Vou aplicar exatamente esse método à igualdade desejada. Para facilitar as contas, vou trabalhar com a forma equivalente
a_{n+1}-1=\prod_{k=1}^{n}a_k,
ou, alternativamente, usar a forma
a_n-1=\prod_{k=1}^{n-1}a_k,
quando fizer a hipótese indutiva.

Passo 4

Verificamos a base n=1. A afirmação que queremos para n=1 é
a_{2}=a_{1}+1.
Usando a recorrência:
a_{2}=a_{1}^{2}-a_{1}+1=2^{2}-2+1=3.
E a_{1}+1=2+1=3. Portanto a igualdade é verdadeira para n=1. Concluímos que a base da indução está satisfeita.

Passo 5

Agora fazemos o passo indutivo. Seja n\ge1 fixo e suponha que a hipótese indutiva é verdadeira, isto é suponha que
a_{n}= \prod_{k=1}^{n-1} a_k +1.
Essa hipótese é equivalente a
a_{n}-1=\prod_{k=1}^{n-1} a_k.
Vou usar esta última forma porque ela se encaixa bem com a recorrência: note que a recorrência pode ser reescrita como
a_{n+1}-1=a_{n}^{2}-a_{n}=(a_{n})(a_{n}-1).
Essa fatoração simples é apenas aplicar a propriedade distributiva: a_n^2-a_n=a_n(a_n-1). Agora substituímos a hipótese indutiva.

Passo 6

Substituindo a_{n}-1=\prod_{k=1}^{n-1} a_k em a_{n+1}-1=a_n(a_n-1), obtemos:
a_{n+1}-1 = a_n\cdot\bigl(a_{n}-1\bigr)=a_n\cdot\prod_{k=1}^{n-1} a_k=\prod_{k=1}^{n} a_k.
Assim
a_{n+1}=\prod_{k=1}^{n} a_k +1,
que é exatamente a identidade que queríamos provar para o índice n+1. Portanto, se a propriedade vale para n então vale para n+1.

Passo 7

Tendo verificado a base ( n=1) e mostrado que a verdade para n implica a verdade para n+1, pelo princípio da indução matemática a igualdade
a_{n+1}=a_{n}\cdot a_{n-1}\cdot\ldots\cdot a_{2}\cdot a_{1}+1
é verdadeira para todo n\ge 1. Se quiser, os exemplos numéricos do Passo 2 mostram concretamente os primeiros casos.

Resposta

a_{n+1}=a_{n}\cdot a_{n-1}\cdot\ldots\cdot a_{2}\cdot a_{1}+1

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