Seja
um corpo. Mostre que todo polinômio de grau 1 é irredutível em
.
Passo 1
O enunciado dá um corpo
e pede para mostrar que todo polinômio de grau 1 em
é irredutível.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Temos um corpo
. - Consideramos um polinômio
com .
Pergunta a responder: provar que talé irredutível em .
Passo 2
Vou começar lembrando, de maneira bem clara, o que significa “irredutível” em
.
Definição: um polinômio é irredutível se (i)
não é constante e (ii) sempre que escrevemos
com
, então um dos fatores
ou
é uma unidade de
.
Explicação dos termos:
Definição: um polinômio
Explicação dos termos:
- “Constante” aqui significa
. Nós não consideramos constantes como irredutíveis. - Em
, as unidades (os invertíveis) são exatamente os polinômios constantes não nulos, isto é, os elementos de . Em linguagem simples: qualquer com é unidade em .
Essa definição é o que vamos usar para provar que um polinômio de grau 1 é irredutível.
Passo 3
Um fato útil sobre graus de polinômios que vamos usar (e que é fácil de entender): para polinômios não nulos
vale
Por que isso é verdade? Se
tem coeficiente líder
e grau
, e
tem coeficiente líder
e grau
, então o termo de maior grau de
é
. Como
é corpo,
e
são não nulos, então
, e logo o termo de maior grau não some — portanto
.
Esse é um argumento curto e direto que vamos aplicar à fatoração de um polinômio de grau 1.
Esse é um argumento curto e direto que vamos aplicar à fatoração de um polinômio de grau 1.
Passo 4
Agora faça a prova direta por contradição (ou por análise de possibilidades): seja
com
. Suponha que
se escreve como produto
com
. Queremos mostrar que um dos dois é unidade.
Pelo fato dos graus,
Pelo fato dos graus,
Como
, os graus
e
são números inteiros não negativos que somam
. As únicas possibilidades são:
-
e , ou -
e .
Em qualquer dos casos, um dos fatores tem grau, isto é, é um polinômio constante não nulo. Mas constantes não nulas são unidades em . Portanto a fatoração é trivial (um dos fatores é unidade). Isso mostra exatamente que é irredutível segundo a definição.
Passo 5
Para ficar mais concreto: se quisermos ver um exemplo típico, escrevemos um polinômio linear genérico como
com
. Se
então, pelos graus, ou
é constante e
tem grau 1, ou vice‑versa; não existe maneira de escrever
como produto de dois polinômios de grau
. Logo
é irredutível. Isso é exatamente o que acabamos de provar em geral.
Resposta
Todo polinômio de grau
em
é irredutível.