Seja K um corpo. Mostre que todo polinômio de grau 1 é irredutível em K[x].

Passo 1

O enunciado dá um corpo K e pede para mostrar que todo polinômio de grau 1 em K[x] é irredu­tível.
Informações relevantes:
  • Temos um corpo K.
  • Consideramos um polinômio f(x)\in K[x] com \deg f = 1.
    Pergunta a responder: provar que tal f(x) é irredu­tível em K[x].

Passo 2

Vou começar lembrando, de maneira bem clara, o que significa “irredutível” em K[x].
Definição: um polinômio f\in K[x] é irredu­tível se (i) f não é constante e (ii) sempre que escrevemos f=gh com g,h\in K[x], então um dos fatores g ou h é uma unidade de K[x].
Explicação dos termos:
  • “Constante” aqui significa \deg f = 0. Nós não consideramos constantes como irredu­tíveis.
  • Em K[x], as unidades (os invertíveis) são exatamente os polinômios constantes não nulos, isto é, os elementos de K^\times. Em linguagem simples: qualquer c\in K com c\neq 0 é unidade em K[x].
    Essa definição é o que vamos usar para provar que um polinômio de grau 1 é irredu­tível.

Passo 3

Um fato útil sobre graus de polinômios que vamos usar (e que é fácil de entender): para polinômios não nulos g,h\in K[x] vale
\deg(gh)=\deg g + \deg h.
Por que isso é verdade? Se g tem coeficiente líder a e grau m, e h tem coeficiente líder b e grau n, então o termo de maior grau de gh é ab x^{m+n}. Como K é corpo, a e b são não nulos, então ab\neq 0, e logo o termo de maior grau não some — portanto \deg(gh)=m+n.
Esse é um argumento curto e direto que vamos aplicar à fatoração de um polinômio de grau 1.

Passo 4

Agora faça a prova direta por contradição (ou por análise de possibilidades): seja f\in K[x] com \deg f=1. Suponha que f se escreve como produto f=gh com g,h\in K[x]. Queremos mostrar que um dos dois é unidade.
Pelo fato dos graus,
\deg f = \deg g + \deg h.
Como \deg f = 1, os graus \deg g e \deg h são números inteiros não negativos que somam 1. As únicas possibilidades são:
  • \deg g = 0 e \deg h = 1, ou
  • \deg g = 1 e \deg h = 0.
    Em qualquer dos casos, um dos fatores tem grau 0, isto é, é um polinômio constante não nulo. Mas constantes não nulas são unidades em K[x]. Portanto a fatoração f=gh é trivial (um dos fatores é unidade). Isso mostra exatamente que f é irredu­tível segundo a definição.

Passo 5

Para ficar mais concreto: se quisermos ver um exemplo típico, escrevemos um polinômio linear genérico como f(x)=ax+b com a\neq 0. Se f=gh então, pelos graus, ou g é constante e h tem grau 1, ou vice‑versa; não existe maneira de escrever ax+b como produto de dois polinômios de grau \ge 1. Logo ax+b é irredu­tível. Isso é exatamente o que acabamos de provar em geral.

Resposta

Todo polinômio de grau 1 em K[x] é irredu­tível.

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