Sabendo que i é raiz de f, deduza a fatoração completa de f em \mathbb{R}[x].
f=x^{9}+6 x^{8}+11 x^{7}+2 x^{6}-13 x^{5}-14 x^{4}-11 x^{3}-2 x^{2}+12 x+8

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
f(x)=x^{9}+6x^{8}+11x^{7}+2x^{6}-13x^{5}-14x^{4}-11x^{3}-2x^{2}+12x+8
e informa que i (a unidade imaginária, com i^2=-1) é raiz de f. A pergunta é: deduzir a fatoração completa de f em \mathbb{R}[x] (isto é, escrever f como produto de polinômios de coeficientes reais, irreduzíveis sobre \mathbb{R}). As informações relevantes são: o polinômio f e que i é raiz.

Passo 2

Primeira consequência teórica importante (que vamos usar): se um polinômio de coeficientes reais tem i como raiz, então seu conjugado -i também é raiz. Por quê? Porque os coeficientes são reais e as raízes complexas aparecem em pares conjugados. Portanto x-i e x-(-i)=x+i são fatores de f. Multiplicando-os obtemos o fator real quadrático
(x-i)(x+i)=x^{2}+1.
Logo x^{2}+1 divide f(x) em \mathbb{R}[x].

Passo 3

Agora vamos dividir f(x) por x^{2}+1. Escrevemos
f(x)=(x^{2}+1)\,q(x)
com q(x) de grau 7. Seja
q(x)=a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.
Ao multiplicar (x^{2}+1)q(x) obtemos, para cada grau m,
\text{coeficiente de }x^{m}\text{ em }f = a_{m-2}+a_{m},
onde entendemos a_{k}=0 se k<0 ou k>7. Igualamos isso aos coeficientes de f (do grau 9 até 0) e resolvemos recursivamente:
Para m=9: a_{7}=1.
Para m=8: a_{6}=6.
Para m=7: a_{5}+a_{7}=11 a_{5}=11-a_{7}=11-1=10.
Para m=6: a_{4}+a_{6}=2 a_{4}=2-a_{6}=2-6=-4.
Para m=5: a_{3}+a_{5}=-13 a_{3}=-13-a_{5}=-13-10=-23.
Para m=4: a_{2}+a_{4}=-14 a_{2}=-14-a_{4}=-14-(-4)=-10.
Para m=3: a_{1}+a_{3}=-11 a_{1}=-11-a_{3}=-11-(-23)=12.
Para m=2: a_{0}+a_{2}=-2 a_{0}=-2-a_{2}=-2-(-10)=8.
Os coeficientes verificados para m=1 e m=0 conferem com os coeficientes finais de f, então não há resto.

Passo 4

Portanto o quociente é
q(x)=x^{7}+6x^{6}+10x^{5}-4x^{4}-23x^{3}-10x^{2}+12x+8.

Passo 5

Agora fatoramos q(x) sobre \mathbb{R}. Uma ferramenta prática é testar raízes racionais inteiras (teorema das raízes racionais / divisores do termo constante). Tentamos x=-1. Calculamos f(-1) (ou q(-1)); fazendo as somas dos termos (detalhe calculado):
f(-1)=0,
logo x+1 é fator de f e também de q. Aplicamos divisão sintética de q por x+1 (para raiz -1). Coeficientes de q: 1,6,10,-4,-23,-10,12,8.
Divisão sintética com -1 dá novo polinômio (grau 6)
r(x)=x^{6}+5x^{5}+5x^{4}-9x^{3}-14x^{2}+4x+8.
(Os passos da sintética: trago 1; multiplico por -1 e somo, etc. Resto zero.)

Passo 6

Testamos novamente x=-1 em r(x). Calculando r(-1)=0. Logo x+1 é fator de multiplicidade pelo menos 2. Dividindo r por x+1 (nova sintética com -1) obtemos
s(x)=x^{5}+4x^{4}+x^{3}-10x^{2}-4x+8.

Passo 7

Testamos possíveis raízes de s(x). Avaliando s(1) encontramos s(1)=0. Assim x-1 é fator. Dividimos s por x-1 (sintética com 1), obtendo
t(x)=x^{4}+5x^{3}+6x^{2}-4x-8.

Passo 8

Testamos t(1) e obtemos t(1)=0. Assim x-1 é fator novamente (multiplicidade pelo menos 2). Dividindo t por x-1 (sintética com 1) obtemos
u(x)=x^{3}+6x^{2}+12x+8.

Passo 9

Examinamos u(x). Reconhecemos o padrão do binômio: a expansão de (x+2)^{3} é
(x+2)^{3}=x^{3}+3\cdot2x^{2}+3\cdot2^{2}x+2^{3}=x^{3}+6x^{2}+12x+8,
que coincide com u(x). Portanto u(x)=(x+2)^{3}.

Passo 10

Reunindo todos os fatores obtidos ao longo do processo: começamos com o fator (x^{2}+1) vindo de i ser raiz; depois encontramos (x+1)^{2}, (x-1)^{2} e (x+2)^{3}. Assim a fatoração completa em \mathbb{R}[x] é
f(x)=(x^{2}+1)(x+1)^{2}(x-1)^{2}(x+2)^{3}.

Resposta

(x^{2}+1)(x+1)^{2}(x-1)^{2}(x+2)^{3}

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