Sabendo que
é raiz de
, deduza a fatoração completa de
em
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e informa que
(a unidade imaginária, com
) é raiz de
. A pergunta é: deduzir a fatoração completa de
em
(isto é, escrever
como produto de polinômios de coeficientes reais, irreduzíveis sobre
). As informações relevantes são: o polinômio
e que
é raiz.
Passo 2
Primeira consequência teórica importante (que vamos usar): se um polinômio de coeficientes reais tem
como raiz, então seu conjugado
também é raiz. Por quê? Porque os coeficientes são reais e as raízes complexas aparecem em pares conjugados. Portanto
e
são fatores de
. Multiplicando-os obtemos o fator real quadrático
Logo
divide
em
.
Passo 3
Agora vamos dividir
por
. Escrevemos
com
de grau
. Seja
Ao multiplicar
obtemos, para cada grau
,
onde entendemos
se
ou
. Igualamos isso aos coeficientes de
(do grau
até
) e resolvemos recursivamente:
Para
:
.
Para :
.
Para :
⇒
.
Para :
⇒
.
Para :
⇒
.
Para :
⇒
.
Para :
⇒
.
Para :
⇒
.
Para
Para
Para
Para
Para
Para
Para
Os coeficientes verificados para
e
conferem com os coeficientes finais de
, então não há resto.
Passo 4
Portanto o quociente é
Passo 5
Agora fatoramos
sobre
. Uma ferramenta prática é testar raízes racionais inteiras (teorema das raízes racionais / divisores do termo constante). Tentamos
. Calculamos
(ou
); fazendo as somas dos termos (detalhe calculado):
logo
é fator de
e também de
. Aplicamos divisão sintética de
por
(para raiz
). Coeficientes de
:
.
Divisão sintética com dá novo polinômio (grau 6)
Divisão sintética com
(Os passos da sintética: trago 1; multiplico por
e somo, etc. Resto zero.)
Passo 6
Testamos novamente
em
. Calculando
. Logo
é fator de multiplicidade pelo menos
. Dividindo
por
(nova sintética com
) obtemos
Passo 7
Testamos possíveis raízes de
. Avaliando
encontramos
. Assim
é fator. Dividimos
por
(sintética com
), obtendo
Passo 8
Testamos
e obtemos
. Assim
é fator novamente (multiplicidade pelo menos 2). Dividindo
por
(sintética com
) obtemos
Passo 9
Examinamos
. Reconhecemos o padrão do binômio: a expansão de
é
que coincide com
. Portanto
.
Passo 10
Reunindo todos os fatores obtidos ao longo do processo: começamos com o fator
vindo de
ser raiz; depois encontramos
,
e
. Assim a fatoração completa em
é