Determine o MDC em
dos seguintes pares de polinômios :
(c)
e
(c)
Passo 1
O enunciado dá os dois polinômios
e
e pede o máximo divisor comum (MDC) em
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Temos
de grau e de grau . - Estamos trabalhando em
(coeficientes racionais). - O MDC em
pode ser tomado monic (coeficiente líder igual a ).
Passo 2
Vou tentar fatorar
para ver possíveis fatores comuns com
. Experimento a fatoração
Multiplicando termo a termo para confirmar:
Portanto
Observação útil: cada fator quadrático é monic e tem discriminante
, logo não tem raízes racionais; assim
não tem raízes lineares em
e os únicos possíveis divisores não triviais de
em
são
,
ou o próprio
.
Passo 3
Pelo item anterior, o MDC de
e
em
só pode ser um dos seguintes (até unidade em
):
,
,
ou
. Como
,
não pode dividir
. Portanto resta testar se
ou
dividem
, ou se o MDC é
.
Passo 4
Testo se
divide
. Para isso trabalho com redução módulo
. Da relação
obtemos
Multiplicando por
obtemos
Agora substituo novamente
:
Logo, módulo
vale
. Agora reduzo
:
Faço as contas passo a passo:
então
O resto é
. Portanto
divide
.
Passo 5
Testo se
divide
. Da relação
obtemos
Multiplicando por
obtemos
Reduzo
módulo
:
Faço as contas:
logo
Esse resto
não é o polinómio zero em
, portanto
não divide
.
Passo 6
Concluímos que dos fatores não triviais de
apenas
divide
. Assim o maior divisor comum (até constante) é
. Em
é habitual escolher o MDC monic, então tomamos exatamente
.