Determine o MDC em mathbb{Q}[x] dos seguintes pares de polinômios :
(c) f=x^{4}+x^{2}+1 e g=5 x^{3}+4 x^{2}+4 x-1

Passo 1

O enunciado dá os dois polinômios
f=x^{4}+x^{2}+1
e
g=5x^{3}+4x^{2}+4x-1
e pede o máximo divisor comum (MDC) em \mathbb{Q}[x].
Informações relevantes dadas:
  • Temos f de grau 4 e g de grau 3.
  • Estamos trabalhando em \mathbb{Q}[x] (coeficientes racionais).
  • O MDC em \mathbb{Q}[x] pode ser tomado monic (coeficiente líder igual a 1).

Passo 2

Vou tentar fatorar f para ver possíveis fatores comuns com g. Experimento a fatoração
(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1).
Multiplicando termo a termo para confirmar:
(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}-x^{3}+x^{2}+x^{3}-x^{2}+x+x^{2}-x+1=x^{4}+x^{2}+1.
Portanto
f=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1).
Observação útil: cada fator quadrático é monic e tem discriminante -3, logo não tem raízes racionais; assim f não tem raízes lineares em \mathbb{Q} e os únicos possíveis divisores não triviais de f em \mathbb{Q}[x] são x^{2}+x+1, x^{2}-x+1 ou o próprio f.

Passo 3

Pelo item anterior, o MDC de f e g em \mathbb{Q}[x] só pode ser um dos seguintes (até unidade em \mathbb{Q}): 1, x^{2}+x+1, x^{2}-x+1 ou f. Como \deg(g)=3<\deg(f)=4, f não pode dividir g. Portanto resta testar se x^{2}+x+1 ou x^{2}-x+1 dividem g, ou se o MDC é 1.

Passo 4

Testo se \;x^{2}+x+1 divide g. Para isso trabalho com redução módulo \;x^{2}+x+1. Da relação \;x^{2}+x+1=0 obtemos
x^{2}\equiv -x-1.
Multiplicando por x obtemos
x^{3}\equiv x\cdot(-x-1)=-x^{2}-x.
Agora substituo novamente x^{2}\equiv -x-1:
x^{3}\equiv -(-x-1)-x = x+1-x = 1.
Logo, módulo \;x^{2}+x+1 vale x^{3}\equiv 1. Agora reduzo g:
g=5x^{3}+4x^{2}+4x-1 \equiv 5\cdot 1 + 4(-x-1) + 4x -1.
Faço as contas passo a passo:
5\cdot 1 = 5,
4(-x-1) = -4x-4,
então
5 + (-4x-4) + 4x -1 = 5-4-1 + (-4x+4x)=0.
O resto é 0. Portanto \;x^{2}+x+1 divide g.

Passo 5

Testo se \;x^{2}-x+1 divide g. Da relação \;x^{2}-x+1=0 obtemos
x^{2}\equiv x-1.
Multiplicando por x obtemos
x^{3}\equiv x(x-1)=x^{2}-x \equiv (x-1)-x = -1.
Reduzo g módulo \;x^{2}-x+1:
g=5x^{3}+4x^{2}+4x-1 \equiv 5(-1) + 4(x-1) + 4x -1.
Faço as contas:
5(-1)=-5,
4(x-1)=4x-4,
logo
-5 + (4x-4) + 4x -1 = 8x -10.
Esse resto 8x-10 não é o polinómio zero em \mathbb{Q}[x], portanto \;x^{2}-x+1 não divide g.

Passo 6

Concluímos que dos fatores não triviais de f apenas \;x^{2}+x+1 divide g. Assim o maior divisor comum (até constante) é \;x^{2}+x+1. Em \mathbb{Q}[x] é habitual escolher o MDC monic, então tomamos exatamente \;x^{2}+x+1.

Resposta

\gcd(f,g)=x^{2}+x+1

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