Para matrizes quadradas vale que
, da qual segue que
. Use esta propriedade para mostrar que matrizes similares possuem o mesmo determinante ou, equivalentemente, uma transformação de similaridade não altera o determinante de uma matriz. Verifique esta propriedade sobre os dados do exercício anterior.
Complemento. Da desigualdade de Sylvester se conclui que, se
é não-singular, então
, para qualquer matriz
de dimensão compatível. Logo, o rank de uma matriz não muda quando é feita uma transformação de similaridade. Em consequência, matrizes similares possuem o mesmo rank e mesma nulidade. Isto seria esperado, pois matrizes similares são apenas representações (em bases diferentes) para um mesmo operador linear.
Passo 1
O enunciado nos lembra que, para matrizes quadradas, vale
e portanto, tomando
,
Queremos usar isso para provar que, se
é similar a
, isto é,
com
não singular, então
.
Passo 2
Calculamos diretamente
Mas
, então
Logo, a transformação de similaridade não altera o determinante.
Passo 3
O enunciado pede para verificar esta propriedade sobre os dados do exercício anterior, mas como não foram fornecidos aqui os valores ou matrizes específicas desse exercício, não há como fazer a verificação numérica ou matricial concreta.
Resposta
Matrizes similares têm sempre o mesmo determinante, pois
Não é possível verificar concretamente sobre o exercício anterior devido à falta dos seus dados.