Para matrizes quadradas vale que det(A B)=det(A) det(B), da qual segue que det(A^-1)= 1det(A). Use esta propriedade para mostrar que matrizes similares possuem o mesmo determinante ou, equivalentemente, uma transformação de similaridade não altera o determinante de uma matriz. Verifique esta propriedade sobre os dados do exercício anterior.
Complemento. Da desigualdade de Sylvester se conclui que, se Q é não-singular, então rho(A Q)=rho(Q A)=rho(A), para qualquer matriz A de dimensão compatível. Logo, o rank de uma matriz não muda quando é feita uma transformação de similaridade. Em consequência, matrizes similares possuem o mesmo rank e mesma nulidade. Isto seria esperado, pois matrizes similares são apenas representações (em bases diferentes) para um mesmo operador linear.

Passo 1

O enunciado nos lembra que, para matrizes quadradas, vale
det(A B)=det(A),det(B),
e portanto, tomando B=A^-1,
det(I)=det(A,A^-1)=det(A),det(A^-1)Longrightarrowdet(A^-1)=1det(A)
Queremos usar isso para provar que, se B é similar a A, isto é,
B=P^-1A,P
com P não singular, então det(B)=det(A).

Passo 2

Calculamos diretamente
det(B)=detl(P^-1A,Pr) =det(P^-1),det(A),det(P)
Mas det(P^-1)=1/det(P), então
det(B) =1det(P),det(A),det(P) =det(A),det(P)det(P) =det(A)
Logo, a transformação de similaridade não altera o determinante.

Passo 3

O enunciado pede para verificar esta propriedade sobre os dados do exercício anterior, mas como não foram fornecidos aqui os valores ou matrizes específicas desse exercício, não há como fazer a verificação numérica ou matricial concreta.

Resposta

Matrizes similares têm sempre o mesmo determinante, pois
detl(P^-1A,Pr)=det(A)
Não é possível verificar concretamente sobre o exercício anterior devido à falta dos seus dados.

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