Seja L um operador linear de V e v \in V \operatorname{com} v \neq 0. Considere o subespaço vetorial W de V gerado por v, L(v), L^{2}(v), L^{3}(v), \cdots Determine o subespaço W em cada caso:
V=P_{3}(\mathbb{R}), L definido por L(p)=p^{\prime \prime} e v=t^{3}.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço
W = \operatorname{span}\{v,\,L(v),\,L^2(v),\,L^3(v),\dots\}
em que V = P_{3}(\mathbb{R}), L é o operador segunda derivada dado por
L(p)=p'',
e v(t)=t^{3}. Vamos calcular as imagens sucessivas de v por L.

Passo 2

Calculamos L(v). Como v(t)=t^3, temos
L(v) = (t^3)'' = \frac{d^2}{dt^2}(t^3) = 6t.

Passo 3

Agora L^2(v)=L\bigl(L(v)\bigr)=L(6t). Como 6t é um polinômio de grau 1,
L(6t) = (6t)'' = 0.
E para todo k\ge2, L^k(v)=0.

Passo 4

Portanto só aparecem vetores não nulos em \{v,\,L(v)\}. Logo
W = \operatorname{span}\{\,t^3,\;6t\} =\operatorname{span}\{\,t^3,\;t\}.

Resposta

W = \operatorname{span}\{t^3,\,t\}.

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