Seja L um operador linear de V e v \in V \operatorname{com} v \neq 0. Considere o subespaço vetorial W de V gerado por v, L(v), L^{2}(v), L^{3}(v), \cdots Determine o subespaço W em cada caso:
V=\mathbb{R}^{3}, L definido por L(x, y, z)=(x, 0,0) e v=(1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o subespaço
W = \operatorname{span}\{v,\,L(v),\,L^2(v),\,L^3(v),\dots\}
em V=\mathbb{R}^3, onde
L(x,y,z) = (x,0,0)
e
v = (1,0,1).
O conteúdo envolve operadores lineares e subespaços cíclicos gerados por um vetor.

Passo 2

Calculamos as primeiras iterações de L aplicadas a v:
L(v) = L(1,0,1) = (1,0,0).
Como L(1,0,0) = (1,0,0), segue que para todo k\ge1,
L^k(v) = (1,0,0).

Passo 3

O subespaço W é gerado pelos vetores
v = (1,0,1) \quad\text{e}\quad L(v) = (1,0,0).
Logo,
W = \operatorname{span}\bigl\{(1,0,1),\,(1,0,0)\bigr\}.

Passo 4

Para caracterizar W, note que qualquer combinação linear
a\,(1,0,1) + b\,(1,0,0) = (a+b,\,0,\,a),
onde a,b\in\mathbb{R}. Definindo s=a+b e t=a, obtemos
W = \{(s,0,t)\mid s,t\in\mathbb{R}\}.

Resposta

W = \{(x,0,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\},
ou seja, o plano \{y=0\} em \mathbb{R}^3.

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