Seja L um operador linear de V e v \in V \operatorname{com} v \neq 0. Considere o subespaço vetorial W de V gerado por v, L(v), L^{2}(v), L^{3}(v), \cdots Determine o subespaço W em cada caso: V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}), L definido por L(A)=A^{t} e v=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V = M_{2\times2}(\mathbb{R}), o operador linear
L\colon V \to V,\quad L(A)=A^t
e o vetor
v=\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix},
e pede o subespaço
W = \operatorname{span}\{\,v,\,L(v),\,L^2(v),\,L^3(v),\dots\}.
Vamos usar a propriedade de que a transposta de uma matriz antissimétrica é o seu negativo.