Seja L um operador linear de V e v \in V \operatorname{com} v \neq 0. Considere o subespaço vetorial W de V gerado por v, L(v), L^{2}(v), L^{3}(v), \cdots Determine o subespaço W em cada caso:
V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}), L definido por L(A)=A^{t} e v=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = M_{2\times2}(\mathbb{R}), o operador linear
L\colon V \to V,\quad L(A)=A^t
e o vetor
v=\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix},
e pede o subespaço
W = \operatorname{span}\{\,v,\,L(v),\,L^2(v),\,L^3(v),\dots\}.
Vamos usar a propriedade de que a transposta de uma matriz antissimétrica é o seu negativo.

Passo 2

Calcular L(v). Temos
L(v)=v^t = \begin{pmatrix}0 & -1\\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Como v é antissimétrica, v^t = -v. Logo,
L(v) = -\,v.

Passo 3

Observar o comportamento iterado de L sobre v:
L^2(v) = L\bigl(L(v)\bigr) = L(-v) = -\,L(v) = -(-v) = v,
e a partir daí L^3(v)=L(v)=-v, L^4(v)=v etc. Portanto a sequência
v,\;L(v),\;L^2(v),\;L^3(v),\dots
é simplesmente
v,\;-v,\;v,\;-v,\;\dots
e não produz nenhum vetor novo além de múltiplos de v.

Passo 4

Concluímos que
W = \operatorname{span}\{\,v,\,-v\} = \operatorname{span}\{\,v\}.
Em outras palavras, W é a reta (uma dimensão) gerada por
v = \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix},
isto é, o subespaço de todas as matrizes antissimétricas de ordem 2.

Resposta

W = \bigl\{\,\lambda \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix}\mid \lambda\in\mathbb{R}\bigr\}.

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