Seja B=\{u, v, w\} uma base ordenada de um espaço vetorial V e sejam T e L operadores lineares dados por; T(u)=u-v, T(v)=u+w, T(w)=v, L(u)=2 u+w, L(v)=u e L(w)=v-3 u. Determine as matrizes de cada um dos operadores T, L, T \circ L, L \circ T e T^{2} em relação à base B.

Passo 1

Estamos num espaço vetorial V com base ordenada B=(u,v,w). Os operadores lineares T e L são dados em B por
T(u)=u-v,\quad T(v)=u+w,\quad T(w)=v,
L(u)=2u+w,\quad L(v)=u,\quad L(w)=v-3u.
Para encontrar a matriz de cada operador em relação a B, vamos expressar cada imagem como combinação linear das bases e montar colunas com essas coordenadas. Depois, para composições, multiplicamos as matrizes obtidas.

Passo 2

Matriz de T.
Em coordenadas de B:
T(u)=1\cdot u +(-1)\cdot v +0\cdot w\quad\longrightarrow\quad\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},
T(v)=1\cdot u +0\cdot v +1\cdot w\quad\longrightarrow\quad\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
T(w)=0\cdot u +1\cdot v +0\cdot w\quad\longrightarrow\quad\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Logo,
[T]_{B}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ -1& 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Matriz de L.
Em coordenadas de B:
L(u)=2\cdot u +0\cdot v +1\cdot w\quad\longrightarrow\quad\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
L(v)=1\cdot u +0\cdot v +0\cdot w\quad\longrightarrow\quad\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
L(w)=-3\cdot u +1\cdot v +0\cdot w\quad\longrightarrow\quad\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Logo,
[L]_{B}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Matriz de T\circ L.
Usamos a regra da composição:
[T\circ L]_{B}=[T]_{B}\,[L]_{B}.
Fazendo o produto
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ -1& 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2\\\\ -1& -1& 3\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Matriz de L\circ T.
De maneira análoga,
[L\circ T]_{B}=[L]_{B}\,[T]_{B}.
Calculando
\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ -1& 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 6

Matriz de T^2.
Aqui é o quadrado da matriz de T:
[T^2]_{B}=[T]_{B}\,[T]_{B}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ -1& 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ -1& 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ -1& 0 & 0\\\\ -1& 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{B}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ -1& 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad [L]_{B}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
[T\circ L]_{B}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -2\\\\ -1& -1& 3\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad [L\circ T]_{B}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
[T^2]_{B}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ -1& 0 & 0\\\\ -1& 0 & 1 \end{pmatrix}.

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