Seja B=\{u, v, w\} uma base ordenada de um espaço vetorial V e sejam T e L operadores lineares dados por; T(u)=u-v, T(v)=u+w, T(w)=v, L(u)=2 u+w, L(v)=u e L(w)=v-3 u. Determine as matrizes de cada um dos operadores T, L, T \circ L, L \circ T e T^{2} em relação à base B.
Passo 1
Estamos num espaço vetorial V com base ordenada B=(u,v,w). Os operadores lineares T e L são dados em B por
T(u)=u-v,\quad T(v)=u+w,\quad T(w)=v,
L(u)=2u+w,\quad L(v)=u,\quad L(w)=v-3u.
Para encontrar a matriz de cada operador em relação a B, vamos expressar cada imagem como combinação linear das bases e montar colunas com essas coordenadas. Depois, para composições, multiplicamos as matrizes obtidas.
Passo 2
Matriz de T.
Em coordenadas de B:
T(u)=1\cdot u +(-1)\cdot v +0\cdot w\quad\longrightarrow\quad\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},
T(v)=1\cdot u +0\cdot v +1\cdot w\quad\longrightarrow\quad\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
T(w)=0\cdot u +1\cdot v +0\cdot w\quad\longrightarrow\quad\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.