Sejam os pontos A(2,2,0), B(4,4, m), C(6,6,2) e D(5, m, 2). Determine:
(a) O(s) valor(es) de m >= 0, para que a área do paralelogramo de lados A B e A C seja igual a 4 raiz2 unidades de área;
(b) O(s) valor(es) de m >= 0, para que o volume do paralelepípedo cujas arestas são representantes dos vetores A B, A C e A D, seja igual a 5 unidades de volume;

Passo 1

O enunciado dá os pontos
;A(2,2,0), ;B(4,4,m), ;C(6,6,2) e ;D(5,m,2).
Queremos
(a) a área do paralelogramo com lados AB e AC igual a 4raiz2,
(b) o volume do paralelepípedo cujas arestas são AB, AC e AD igual a 5.
O conteúdo principal é cálculo de produto vetorial para área e produto misto (determinante) para volume em R^3.

Passo 2

Calculamos os vetores
AB = B - A = (4-2,;4-2,;m-0) = (2,2,m),
AC = C - A = (6-2,;6-2,;2-0) = (4,4,2)

Passo 3

O produto vetorial é
ABtimesAC = l(2cdot2 - mcdot4,;mcdot4 - 2cdot2,;2cdot4-2cdot4r) = (4-4m,;4m-4,;0)
A magnitude vale
|ABtimesAC| = raiz(4-4m)^2 + (4m-4)^2 + 0^2 = |4-4m|raiz2

Passo 4

Impondo |ABtimesAC| = 4raiz2
|4-4m|raiz2 = 4raiz2 ;Longrightarrow;|4(1-m)|=4 ;Longrightarrow;|1-m|=1 ;Longrightarrow;m=0 ou m=2,
e ambas satisfazem m>=0.

Passo 5

Para o volume, achamos
AD = D - A = (5-2,;m-2,;2-0) = (3,;m-2,;2)

Passo 6

O volume em módulo é o valor absoluto do produto misto
Expandindo pela primeira linha:

Passo 7

Impondo l|4m^2 -24m +20r|=5 gera duas equações:
4m^2-24m+20=5 Longrightarrow 4m^2-24m+15=0 Longrightarrow m=6pmraiz212,
4m^2-24m+20=-5 Longrightarrow 4m^2-24m+25=0 Longrightarrow m=6pmraiz112
Como 6>raiz21 e 6>raiz11, todas essas raízes são >=0.

Resposta

(a) m=0 ou m=2
(b) m=dfrac6pmraiz212 ou m=dfrac6pmraiz112

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