O plano que passa pelo ponto (-1,2,-5) que é perpendicular aos planos 2 x-y+z=1 e x+y-2 z=3.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um ponto por onde o plano procurado passa: (-1,\,2,\,-5).
  • Dois planos que devem ser ambos perpendiculares ao plano procurado:
    • Plano 1: 2x - y + z = 1.
    • Plano 2: x + y - 2z = 3.
O que o problema pede:
  • Determinar a equação do plano que passa por (-1,\,2,\,-5) e que é perpendicular aos dois planos acima.

Passo 2

Entendendo a condição “plano A é perpendicular ao plano B”: para planos em \mathbb{R}^3, essa condição significa que os vetores normais desses planos são perpendiculares (ou seja, o produto escalar entre eles é 0).
Portanto, se chamarmos:
  • \mathbf{n}_1 o vetor normal do plano 2x-y+z=1,
  • \mathbf{n}_2 o vetor normal do plano x+y-2z=3,
    e \mathbf{n} o vetor normal do plano procurado, então devemos ter
\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_1=0 \quad\text{e}\quad \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_2=0.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente os vetores normais dados pelos planos:
  • Para 2x-y+z=1, o vetor normal é \mathbf{n}_1=(2,\,-1,\,1).
  • Para x+y-2z=3, o vetor normal é \mathbf{n}_2=(1,\,1,\,-2).
Agora, um vetor que seja perpendicular simultaneamente a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2 é qualquer múltiplo do produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. O produto vetorial fornece um vetor ortogonal a dois vetores em \mathbb{R}^3. Vou explicar como calcular esse produto vetorial.

Passo 4

Definição e cálculo do produto vetorial: para
\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.
As componentes resultantes são:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1).
Aplicando isso a \mathbf{n}_1=(2,-1,1) e \mathbf{n}_2=(1,1,-2), calculamos cada componente:]

Passo 5

Cálculo componente a componente:
\begin{aligned} \text{primeira componente} &= (-1)\cdot(-2) - 1\cdot 1 = 2 - 1 = 1,\\[4pt] \text{segunda componente} &= 1\cdot 1 - 2\cdot(-2) = 1 - (-4) = 1+4 = 5,\\[4pt] \text{terceira componente} &= 2\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 2 - (-1) = 2+1 = 3. \end{aligned}
Logo
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 = (1,\,5,\,3).]

Passo 6

Conclusão sobre o vetor normal do plano procurado: qualquer vetor normal \mathbf{n} do plano desejado é paralelo a (1,5,3). Podemos tomar como vetor normal do plano procurado
\mathbf{n} = (1,\,5,\,3).
(Se preferir podia multiplicar por uma constante, o plano resultante seria equivalente.)

Passo 7

Fórmula da equação do plano a partir de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e de um vetor normal \mathbf{n}=(A,B,C):
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Aqui temos A=1, B=5, C=3 e P_0=(-1,\,2,\,-5). Substituindo na fórmula:
1\bigl(x-(-1)\bigr)+5\bigl(y-2\bigr)+3\bigl(z-(-5)\bigr)=0.

Passo 8

Agora desenvolvendo e simplificando os termos:
\begin{aligned} &(x+1) + 5(y-2) + 3(z+5) = 0,\\[4pt] &x+1 + 5y -10 + 3z +15 = 0,\\[4pt] &x + 5y + 3z + (1-10+15) = 0,\\[4pt] &x + 5y + 3z + 6 = 0. \end{aligned}
Opcional de verificação (rápida): conferir que (1,5,3) é ortogonal a \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2:
(1,5,3)\cdot(2,-1,1)=1\cdot2+5\cdot(-1)+3\cdot1=2-5+3=0,
(1,5,3)\cdot(1,1,-2)=1\cdot1+5\cdot1+3\cdot(-2)=1+5-6=0.
Isso confirma que o plano é perpendicular aos dois planos dados.]

Resposta

x + 5y + 3z + 6 = 0

Exercícios relacionados