O plano que passa pelo ponto (-1,2,-5) que é perpendicular aos planos 2 x-y+z=1 e x+y-2 z=3.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Um ponto por onde o plano procurado passa: (-1,\,2,\,-5).
Dois planos que devem ser ambos perpendiculares ao plano procurado:
Plano 1: 2x - y + z = 1.
Plano 2: x + y - 2z = 3.
O que o problema pede:
Determinar a equação do plano que passa por (-1,\,2,\,-5) e que é perpendicular aos dois planos acima.
Passo 2
Entendendo a condição “plano A é perpendicular ao plano B”: para planos em \mathbb{R}^3, essa condição significa que os vetores normais desses planos são perpendiculares (ou seja, o produto escalar entre eles é 0).
Portanto, se chamarmos:
\mathbf{n}_1 o vetor normal do plano 2x-y+z=1,
\mathbf{n}_2 o vetor normal do plano x+y-2z=3,
e \mathbf{n} o vetor normal do plano procurado, então devemos ter
Vamos escrever explicitamente os vetores normais dados pelos planos:
Para 2x-y+z=1, o vetor normal é \mathbf{n}_1=(2,\,-1,\,1).
Para x+y-2z=3, o vetor normal é \mathbf{n}_2=(1,\,1,\,-2).
Agora, um vetor que seja perpendicular simultaneamente a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2 é qualquer múltiplo do produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. O produto vetorial fornece um vetor ortogonal a dois vetores em \mathbb{R}^3. Vou explicar como calcular esse produto vetorial.
Passo 4
Definição e cálculo do produto vetorial: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
Conclusão sobre o vetor normal do plano procurado: qualquer vetor normal \mathbf{n} do plano desejado é paralelo a (1,5,3). Podemos tomar como vetor normal do plano procurado
\mathbf{n} = (1,\,5,\,3).
(Se preferir podia multiplicar por uma constante, o plano resultante seria equivalente.)
Passo 7
Fórmula da equação do plano a partir de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e de um vetor normal \mathbf{n}=(A,B,C):
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Aqui temos A=1, B=5, C=3 e P_0=(-1,\,2,\,-5). Substituindo na fórmula: