Seja L a transformação linear representando P_{2} \in m \mathbb{R}^{2} definida por L(p(x))=\left[\begin{array}{c}\int_{0}^{1} p(x) d x \\\ p(0)\end{array}\right]. Encontre uma matriz A tal que L(\alpha+\beta x)=A\left[\begin{array}{l}\alpha \\\ \beta\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado define a transformação linear L\colon P_{1}\to\mathbb{R}^{2} (polinômios de grau <=1 em \mathbb{R}[x]) por
L\bigl(p(x)\bigr)=\begin{pmatrix} \displaystyle\int_{0}^{1}p(x)\,dx\\[6pt] p(0) \end{pmatrix}
e pede uma matriz A tal que, na base \{1,x\},
L(\alpha+\beta x)=A\begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix}.]

Passo 2

Escrevemos o polinômio genérico da base como
p(x)=\alpha+\beta x
e calculamos o primeiro componente de L, que é a integral de p de 0 a 1.

Passo 3

\int_{0}^{1}(\alpha+\beta x)\,dx =\alpha\int_{0}^{1}1\,dx+\beta\int_{0}^{1}x\,dx =\alpha\cdot1+\beta\cdot\frac12 =\alpha+\frac{\beta}{2}.

Passo 4

O segundo componente é a avaliação em x=0:
p(0)=\alpha+\beta\cdot0=\alpha.

Passo 5

Assim
L(\alpha+\beta x) =\begin{pmatrix} \alpha+\tfrac{\beta}{2}\\[4pt] \alpha \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & \tfrac12\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix},
logo a matriz procurada é essa.]

Resposta

A = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

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