A transformação linear L definida por L(p(x))=p^{\prime}(x)+p(0) representa P_{3} em P_{2}. Encontre a representação matricial de L em relação às bases ordenadas \left\{x^{2}, x, 1\right\} e \{2,1,-x\}. Para cada um dos seguintes vetores p(x) em P_{3}, encontre as coordenadas de L(p(x)) em relação à base ordenada \{2,1,-x\} :
(a) x^{2}+2 x-3

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
L\colon P_{2}\to P_{2},\qquad L\bigl(p(x)\bigr)=p'(x)+p(0),
onde adotamos o espaço de polinômios de grau <=2 (denotado aqui por P_{2}) com a base ordenada do domínio \{\,x^{2},x,1\}
e a base ordenada do contradomínio \{\,2,1,-x\}.
Precisaremos aplicar L a cada vetor da base do domínio, escrever o resultado em coordenadas na base do contradomínio e montar a matriz. Depois usaremos essa matriz para encontrar as coordenadas de L\bigl(x^{2}+2x-3\bigr).

Passo 2

Calcular L nos vetores da base do domínio:
  1. Para p(x)=x^{2}, temos
p'(x)=2x,\quad p(0)=0\quad\Longrightarrow\quad L(x^{2})=2x.
  1. Para p(x)=x, temos
p'(x)=1,\quad p(0)=0\quad\Longrightarrow\quad L(x)=1.
  1. Para p(x)=1, temos
p'(x)=0,\quad p(0)=1\quad\Longrightarrow\quad L(1)=1.

Passo 3

Expressão em coordenadas na base \{2,1,-x\}. Queremos \bigl[a,b,c\bigr] tais que
a\cdot2 \;+\; b\cdot1 \;+\; c\cdot(-x)
represente o polinômio desejado.
  1. L(x^{2})=2x exige
2a + b = 0,\quad -c = 2\;\Longrightarrow\;c=-2,\quad 2a+b=0.
Tomamos a=0, b=0 para simplificar. Logo
[L(x^{2})]_{\{2,1,-x\}} = \bigl(0,\,0,\,-2\bigr).
  1. L(x)=1 exige
2a + b = 1,\quad -c=0\;\Longrightarrow\;c=0,\;2a+b=1.
Tomamos a=0, b=1. Logo
[L(x)]_{\{2,1,-x\}} = \bigl(0,\,1,\,0\bigr).
  1. L(1)=1 dá o mesmo sistema, então
[L(1)]_{\{2,1,-x\}} = \bigl(0,\,1,\,0\bigr).

Passo 4

Montar a matriz de L (colunas são as coordenadas de L(x^{2}),L(x),L(1)):
[L]_{\{x^{2},x,1\}\to\{2,1,-x\}} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para p(x)=x^{2}+2x-3, seu vetor de coordenadas na base do domínio é
[p]_{\{x^{2},x,1\}}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -3\end{pmatrix}.
Multiplicamos pela matriz de L:
[L]\,\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\\\ 0\cdot1 +1\cdot2 +1\cdot(-3)\\\\ -2\cdot1+0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\\ -1\\\ -2 \end{pmatrix}.

Resposta

As coordenadas de L\bigl(x^{2}+2x-3\bigr) na base \{2,1,-x\} são
\boxed{(0,\,-1,\,-2)}.

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