Sejam b_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right], b_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right] e b_{3}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right] e seja L a transformação linear de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{3} definida por L(x)= x_{1} b_{1}+x_{2} b_{2}+\left(x_{1}+x_{3}\right) b_{3}
Encontre a matriz A representando L em relação às bases \left\{e_{1}, e_{2}\right\} e \left\{b_{1}, b_{2}, b_{3}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz A da transformação linear
L\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3
em que a base do domínio é \{e_1,e_2\} e a base do contradomínio é \{b_1,b_2,b_3\}.
A definição dada (corrigindo o índice para dimensão 2) é
L(x_1,x_2)=x_1\,b_1\;+\;x_2\,b_2\;+\;(x_1+x_2)\,b_3.
Para obter A, basta calcular as coordenadas de L(e_1) e L(e_2) na base \{b_1,b_2,b_3\}.

Passo 2

Calcular L(e_1). Aqui (x_1,x_2)=(1,0), então
L(e_1)=1\cdot b_1 + 0\cdot b_2 + (1+0)\cdot b_3 =b_1 + b_3.
Expressando em coordenadas na base \{b_1,b_2,b_3\} obtemos
[L(e_1)]_{(b)} = \begin{pmatrix} 1\\\ 0\\\ 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular L(e_2). Aqui (x_1,x_2)=(0,1), então
L(e_2)=0\cdot b_1 + 1\cdot b_2 + (0+1)\cdot b_3 =b_2 + b_3.
Em coordenadas na base \{b_1,b_2,b_3\} isso é
[L(e_2)]_{(b)} = \begin{pmatrix} 0\\\ 1\\\ 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

A matriz A em relação às bases dadas tem como colunas os vetores [L(e_1)]_{(b)} e [L(e_2)]_{(b)}. Logo
A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

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