A transformação linear L definida por L(p(x))=p^{\prime}(x)+p(0) representa P_{3} em P_{2}. Encontre a representação matricial de L em relação às bases ordenadas \left\{x^{2}, x, 1\right\} e \{2,1,-x\}. Para cada um dos seguintes vetores p(x) em P_{3}, encontre as coordenadas de L(p(x)) em relação à base ordenada \{2,1,-x\} :
(b) x^{2}+1

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
L\colon P_3\to P_2,\quad L\bigl(p(x)\bigr)=p'(x)+p(0),
e pede (1) a matriz de L nas bases ordenadas \{x^2,x,1\} (domínio) e \{2,1,-x\} (contradomínio), e (2) as coordenadas de L\bigl(x^2+1\bigr) na base \{2,1,-x\}.

Passo 2

Vamos aplicar L aos vetores da base do domínio:
L(x^2)=\bigl(x^2\bigr)'+(x^2)\bigl|_{x=0}=2x+0=2x,
L(x)= (x)'+x\bigl|_{0}=1+0=1,
L(1)= (1)'+1\bigl|_{0}=0+1=1.

Passo 3

Agora expressamos cada imagem como combinação linear da base do contradomínio \{2,1,-x\}. Chamemos esses vetores de v_1=2, v_2=1, v_3=-x.
  1. Para L(x^2)=2x, queremos 2x = a\,2 + b\,1 + c\,(-x). Igualando coeficientes:
    coeficiente de x: 2 = -c c=-2.
    termo constante: 0 = 2a + b.
    Basta escolher a=0, b=0 (uma solução válida), logo
[L(x^2)]_{\{2,1,-x\}} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix}.
  1. Para L(x)=1, queremos 1 = a\cdot2 + b\cdot1 + c\cdot(-x). Daí c=0 e 1=2a+b. Tomando a=0, b=1
[L(x)]_{\{2,1,-x\}} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
  1. Para L(1)=1 é o mesmo caso de L(x), então
[L(1)]_{\{2,1,-x\}} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

A matriz de L relativa às bases \{x^2,x,1\} e \{2,1,-x\} tem como colunas os vetores obtidos:
M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é [L(x^2)], a segunda [L(x)] e a terceira [L(1)].

Passo 5

Para p(x)=x^2+1, o vetor de coordenadas na base do domínio é
[p(x)]_{\{x^2,x,1\}} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Multiplicamos pela matriz M:
[L(p(x))]_{\{2,1,-x\}} = M \,\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot1 + 0\cdot0 + 0\cdot1\\\\ 0\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot1\\\\ -2\cdot1 + 0\cdot0 + 0\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.

Resposta

As coordenadas de L(x^2+1) na base \{2,1,-x\} são
\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.

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