Seja uma laje simplesmente apoiada de concreto com altura h=30 \mathrm{~cm}, largura b=100 \mathrm{~cm}, vão l=10 \mathrm{~m}, carga variável q=7,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}, concreto C50, tensão efetiva da armadura de protensão f_{p, e f}=1400 \mathrm{MPa}, tensão na armadura passiva f_{y d}=434,8 \mathrm{MPa}, tensão de compressão máxima permitida em serviço f_{c, \max }=25 M P a e tensão máxima de tração em serviço f_{t, \max }=6,0 \mathrm{MPa}. Calcule a força de protensão para cada situação.
força de protensão centrada anulando a tensão de tração na fibra inferior da seção no centro do vão

Passo 1

Resumo do enunciado e do que precisamos
Temos uma laje simplesmente apoiada de concreto com seção retangular de largura b=1{,}00 m e altura h=0{,}30 m. O vão é l=10 m e atua sobre ela uma carga variável q=7{,}5 kN/ m^{2} (assumimos 1 m de largura, logo carga linear w=q\,b). Queremos a força de protensão P aplicada no centro da seção ( e=0) de modo que, no meio do vão, a fibra inferior fique com tensão de tração nula, ou seja, \sigma_{\text{inf}}=0.

Passo 2

Dados e conversões
– largura da laje b=1{,}00 m
– altura da laje h=0{,}30 m
– vão l=10 m
– carga por área q=7{,}5 kN/ m^{2} \Rightarrow carga por metro linear
w = q\,b = 7{,}5\;\text{kN/m}^2 \times 1{,}00\;\text{m} = 7{,}5\;\text{kN/m}.

Passo 3

Momento fletor máximo em viga simplesmente apoiada
Para carga uniformemente distribuída w sobre vão l, o momento máximo no meio do vão é
M_{\max} = \frac{w\,l^{2}}{8} =\frac{7{,}5\times10^{2}}{8} =93{,}75\;\text{kN}\cdot\text{m}.

Passo 4

Expressão da tensão na fibra inferior e condição “sem tração”
A protensão centrada ( e=0) gera apenas força axial P, produzindo tensão uniforme -P/A. A carga também gera momento M_{\max}, que produz tensão de flexão na fibra inferior igual a
\sigma_{\text{inf}} =-\frac{P}{A} \;+\;\frac{M_{\max}\,y}{I}, \quad y=\frac{h}{2}.
Para anulá-la, impomos \sigma_{\text{inf}}=0. Como A=b\,h e I=\tfrac{b\,h^{3}}{12}, temos
0=-\frac{P}{b\,h}+\frac{M_{\max}\,\tfrac{h}{2}}{\tfrac{b\,h^{3}}{12}} \quad\Longrightarrow\quad P =\;b\,h\;\frac{M_{\max}\,\tfrac{h}{2}}{\tfrac{b\,h^{3}}{12}} =\;6\,\frac{M_{\max}}{h^{2}}.

Passo 5

Cálculo numérico de P
Substituindo M_{\max}=93{,}75 k N\cdot m e h=0{,}30 m,
P =6\;\frac{93{,}75}{(0{,}30)^{2}} =6\;\frac{93{,}75}{0{,}09} =6\;\times1041{,}67 =6250\;\text{kN}.

Resposta

A força de protensão centrada necessária para anular a tração na fibra inferior, no meio do vão, é
P = 6250\;\text{kN}.

Exercícios relacionados