Obtenha a forma de Jordan para a matriz abaixo
A=[ccccc -1 & 1 & 0 & -3 & 0 -9 & 5 & 0 & -9 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede a forma de Jordan da matriz
A= -1 & 1 & 0 & -3 & 0 -9 & 5 & 0 & -9 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2
O conteúdo aqui é teoria de forma de Jordan: precisamos encontrar os autovalores (polinômio característico), analisar a nilpotente N=A-2I, calcular dimker N e rankN para determinar quantos blocos de cada tamanho surgem.

Passo 2

Como
A=M&B0&C com M=-1&1-9&5,; C=2&1&00&2&00&0&2,
temos
det(A-lambda I)=det(M-lambda I),det(C-lambda I)
No bloco M,
chiM(lambda)=det-1-lambda&1-9&5-lambda =(lambda-2)^2
No bloco C, sendo triangular,
chiC(lambda)=(2-lambda)^3=(-1)^3(lambda-2)^3
Logo
chiA(lambda)=(lambda-2)^2cdot(lambda-2)^3=(lambda-2)^5,
ou seja, o único autovalor é lambda=2 com multiplicidade algébrica 5.

Passo 3

Definimos o nilpotente
N=A-2I = -3 & 1 & 0 & -3 & 0 -9 & 3 & 0 & -9 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Cálculo rápido mostra que
N^2=0,
portanto o índice de nilpotência é 2 e todos os blocos de Jordan terão tamanho <=2.

Passo 4

Como N^2=0, vale
rankN=diml(imNr), dimker N=5-rankN
Das linhas de N apenas a primeira e a terceira são independentes, logo
rankN=2, dimker N=5-2=3
Em geral, o número de blocos de Jordan de tamanho maior que 1 é rankN e o número total de blocos é dimker N. Sejam x blocos de tamanho 2 e y blocos de tamanho 1.
Temos
x+y=3, 2x+y=5 ;Longrightarrow; x=2,;y=1
Logo há dois blocos 2times2 e um bloco 1times1.

Passo 5

A forma de Jordan de A é a matriz diagonal por blocos
J=diagl(J2(2),,J2(2),,J1(2)r)
onde cada
J2(2)=2&10&2, J1(2)=(2)

Resposta

J= 2 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2

Exercícios relacionados