Seja uma lâmina delgada representada pela região D determinada por
e
. Se a densidade em cada ponto
da lâmina é dada por
, determine:
b) o momento de inércia polar em relação à origem.
b) o momento de inércia polar em relação à origem.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia polar da lâmina D em relação à origem, onde D é limitada pelas retas y=x, y=-x e pelos círculos x²+y²=2x e x²+y²=4x, com densidade em cada ponto dada por
. Vamos usar coordenadas polares para aproveitar a simetria do problema.
Passo 2
O momento de inércia polar em relação à origem é definido por
Aqui
e
, então o integrando simplifica:
Passo 3
Na parametrização polar, temos
. As curvas x²+y²=2x e x²+y²=4x ficam
e
espectivamente, e as retas y=±x correspondem a
.
Como nessa faixa de temos
, a região D em polos é
Como nessa faixa de
Passo 4
Montamos então a integral:
Fazendo a integral em
:
Passo 5
Portanto
Usamos a identidade
para integrar:
Avaliar de
a
dá:
Passo 6
Concluímos que