Seja uma lâmina delgada representada pela região D determinada por y=x, y=-x, x^2+y^2=2 x e x^2+y^2=4 x. Se a densidade em cada ponto P=(x, y) da lâmina é dada por de, determine:
b) o momento de inércia polar em relação à origem.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia polar da lâmina D em relação à origem, onde D é limitada pelas retas y=x, y=-x e pelos círculos x²+y²=2x e x²+y²=4x, com densidade em cada ponto dada por de. Vamos usar coordenadas polares para aproveitar a simetria do problema.

Passo 2

O momento de inércia polar em relação à origem é definido por
Io=integral duplaD r^2,de
Aqui r^2= x^2+y^2 e de, então o integrando simplifica:
r^2cdotde

Passo 3

Na parametrização polar, temos dA=r,dr,dtheta. As curvas x²+y²=2x e x²+y²=4x ficam
r=2costheta
e
r=4costheta,
espectivamente, e as retas y=±x correspondem a theta=±tfracpi4.
Como nessa faixa de theta temos costheta>=0, a região D em polos é
-pi4<=theta<=pi4, 2costheta<= r<=4costheta

Passo 4

Montamos então a integral:
Io=integraltheta=-pi/4^pi/4integralr=2costheta^4costhetade
Fazendo a integral em r:
integral2costheta^4costhetar,dr =12l[(4costheta)^2-(2costheta)^2r] =12l(16cos^2theta-4cos^2thetar) =6cos^2theta

Passo 5

Portanto
Io=de
Usamos a identidade cos^2theta=tfrac12(1+cos2theta) para integrar:
integralcos^2theta,dtheta =12integral(1+cos2theta)dtheta =theta2+sin2theta4
Avaliar de -tfracpi4 a tfracpi4 dá:
l(pi/42+sin(pi/2)4r)-l(-pi/42+sin(-pi/2)4r) =pi4+12

Passo 6

Concluímos que
Io=6de

Resposta

Io=3de.

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