1. Seja lang<=cdot, cdotrang<= o produto interno canônico de R^2 e seja T: R^2 R^2 dado por T(x, y)=(-y, x). Mostre que lang<=(x, y), T(x, y)rang<==0, para todo (x, y) in R^2. Encontre todos os produtos internos sobre R^2 que satisfazem esta mesma propriedade.

Passo 1

O enunciado define o produto interno canônico em R^2 e a transformação linear
T(x,y)=(-y,x)
Precisamos (a) mostrar que lang<=(x,y),T(x,y)rang<==0 para todo (x,y) usando o produto interno canônico e (b) caracterizar todos os produtos internos em R^2 que também satisfazem lang<= v,T(v)rang<==0 para todo v.

Passo 2

Com o produto interno canônico lang<=(u1,u2),(v1,v2)rang<= = u1v1 + u2v2, temos
lang<=(x,y),T(x,y)rang<= = lang<=(x,y),(-y,x)rang<= = xcdot(-y) + ycdot x = -xy + xy = 0
Logo, (x,y) é sempre ortogonal a T(x,y).

Passo 3

Em geral, um produto interno em R^2 vem de uma matriz simétrica definida positiva
A = a & b b & c,
de modo que
lang<= u,vrang<= = u^T A,v
Precisamos achar as condições em a,b,c tais que
lang<= (x,y),T(x,y)rang<= = (x,y),A,(-y,x)^T = 0 forall,(x,y)

Passo 4

Calculemos A,(-y,x)^T:
A-y x = a(-y)+b,x b(-y)+c,x = -a,y + b,x -b,y + c,x
Então
lang<=(x,y),T(x,y)rang<= = x & y -a,y + b,x -b,y + c,x = b,x^2 + (c-a),xy - b,y^2
Para que isso seja zero para todo (x,y), é necessário e suficiente que
b = 0 e c - a = 0

Passo 5

As condições b=0 e c=a fazem com que
A = a & 0 0 & a = a,I2,
e a positividade exige a>0. Portanto, os únicos produtos internos que satisfazem lang<= v,T(v)rang<==0 são
lang<= u,vrang<= = a,(u1v1 + u2v2), a>0,
isto é, exatamente os múltiplos escalares positivos do produto interno canônico.

Resposta

Os produtos internos são
lang<= u,vrang<= = a,(u1v1 + u2v2), a>0

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