Seja o produto interno canônico de e seja dado por . Mostre que , para todo . Encontre todos os produtos internos sobre que satisfazem esta mesma propriedade.
Passo 1
O enunciado define o produto interno canônico em e a transformação linear
Precisamos (a) mostrar que para todo usando o produto interno canônico e (b) caracterizar todos os produtos internos em que também satisfazem para todo .
Passo 2
Com o produto interno canônico , temos
Logo, é sempre ortogonal a .
Passo 3
Em geral, um produto interno em vem de uma matriz simétrica definida positiva
de modo que
Precisamos achar as condições em tais que
Passo 4
Calculemos :
Então
lang<=(x,y),T(x,y)rang<= = x & y -a,y + b,x -b,y + c,x = b,x^2 + (c-a),xy - b,y^2
Para que isso seja zero para todo (x,y), é necessário e suficiente que
b = 0 e c - a = 0
Passo 5
As condições b=0 e c=a fazem com que
A = a & 0 0 & a = a,I2,
e a positividade exige a>0. Portanto, os únicos produtos internos que satisfazem lang<= v,T(v)rang<==0 são
lang<= u,vrang<= = a,(u1v1 + u2v2), a>0,
isto é, exatamente os múltiplos escalares positivos do produto interno canônico.