1. Seja A uma matriz 2 times 2 com entradas reais. Para X, Y matrizes 2 times 1 defina a função lang<= X, Yrang<=A:=Y^t A X, onde Y^t é a transposta de Y. Mostre que lang<=cdot, cdotrang<=A é um produto interno sobre o espaço das matrizes 2 times 1 se, e somente se, A=A^t, A11, A22, det(A)>0, onde A=(Ai j).

Passo 1

O enunciado define, para uma matriz AinR^2times2 e vetores-coluna X,YinR^2, a forma bilinear
lang<= X,Yrang<=A;=;Y^tA,X
Queremos mostrar que isto é um produto interno em R^2 se, e somente se,
  1. A=A^t (simetria),
  2. A11>0,
  3. A22>0,
  4. det(A)>0.

Passo 2

Para ser produto interno precisamos de duas propriedades além de bilinearidade (que já está garantida por definição):
  1. Simetria: lang<= X,Yrang<=A=lang<= Y,Xrang<=A.
  2. Definição positiva: lang<= X,Xrang<=A=X^tA,X>0 para todo Xneq0.
    Mostremos primeiro que, se lang<=cdot,cdotrang<=A é produto interno, então A deve ser simétrica.
Tomando simetria,
lang<= X,Yrang<=A=Y^tA,X e lang<= Y,Xrang<=A=X^tA,Y
Como X^tA,Y=(Y^tA^tX)^t, a igualdade Y^tA,X=X^tA,Y para todos X,Y implica
Y^t(A-A^t)X=0forall,X,Y Longrightarrow A=A^t

Passo 3

Agora usemos positividade para extrair as desigualdades sobre entradas e determinante. Seja X=(x1,x2)^t. Então
lang<= X,Xrang<=A = X^tA,X = A11x1^2+2A12x1x2+A22x2^2
  1. Tomando X=(1,0)^t, fica lang<= X,Xrang<=A=A11>0.
  2. Tomando X=(0,1)^t, fica lang<= X,Xrang<=A=A22>0.
  3. Por fim, para um binômio quadrático a x1^2+2b x1x2+d x2^2 ser estritamente positivo para todo Xneq0, além de a>0 e d>0 é necessário que o discriminante seja negativo:
(2b)^2 - 4ad < 0 Long<=ftrightarrow b^2 < ad Long<=ftrightarrow det(A)=ad-b^2>0

Passo 4

Mostramos então que produto interno Rightarrow A=A^t, A11>0, A22>0, det(A)>0.
Para a recíproca, assuma agora
A=A^t, A11>0, A22>0, det(A)>0
Isso diz que o discriminante do polinômio quadrático em x1,x2 é negativo e os coeficientes principais são positivos. Logo, para todo Xneq0,
X^tA,X>0,
e claramente lang<= X,Yrang<=A permanece bilinear e simétrica.

Resposta

A forma lang<= X,Yrang<=A=Y^tA,X é produto interno em R^2 se, e somente se,
A=A^t, A11>0, A22>0, det(A)>0

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