- Seja
uma matriz
com entradas reais. Para
matrizes
defina a função
, onde
é a transposta de
. Mostre que
é um produto interno sobre o espaço das matrizes
se, e somente se,
, onde
.
Passo 1
O enunciado define, para uma matriz
e vetores-coluna
, a forma bilinear
Queremos mostrar que isto é um produto interno em
se, e somente se,
-
(simetria), -
, -
, -
.
Passo 2
Para ser produto interno precisamos de duas propriedades além de bilinearidade (que já está garantida por definição):
- Simetria:
. - Definição positiva:
para todo .
Mostremos primeiro que, seé produto interno, então deve ser simétrica.
Tomando simetria,
Como
, a igualdade
para todos
implica
Passo 3
Agora usemos positividade para extrair as desigualdades sobre entradas e determinante. Seja
. Então
- Tomando
, fica . - Tomando
, fica . - Por fim, para um binômio quadrático
ser estritamente positivo para todo , além de e é necessário que o discriminante seja negativo:
Passo 4
Mostramos então que produto interno
,
,
,
.
Para a recíproca, assuma agora
Isso diz que o discriminante do polinômio quadrático em
é negativo e os coeficientes principais são positivos. Logo, para todo
,
e claramente
permanece bilinear e simétrica.
Resposta
A forma
é produto interno em
se, e somente se,