(2,0) Seja o LCIT descrito pela seguinte equação: \left(D^{2}+10 D+9\right) y(t)=\left(D^{2}+2 D\right) x(t). Determine:
a) A sua resposta à entrada zero, dada as seguintes condições iniciais: y(0)=1 ; y^{\prime}(0)=-3.
b) A sua resposta ao impulso h(t).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Equação diferencial do sistema linear e invariante no tempo:
Perguntas:
a) Determinar a resposta à entrada zero (ou seja, a resposta do sistema quando x(t)=0, usando as condições iniciais dadas).
b) Determinar a resposta ao impulso h(t) (ou seja, a saída quando x(t)=\delta(t) e supondo condições iniciais nulas).
Passo 2
Entendendo e preparando a resolução da parte (a): resposta à entrada zero.
“Resposta à entrada zero” significa que a entrada é x(t)=0. Então resolvemos a equação diferencial homogênea
\left(D^{2}+10D+9\right) y(t)=0,
com as condições iniciais dadas.
Para resolver uma equação linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo y(t)=e^{rt}. Substituindo na equação obtém-se a equação característica
r^{2}+10r+9=0.
Vamos resolver a equação quadrática. O discriminante é
\Delta = 10^{2}-4\cdot1\cdot9 =100-36=64.
As raízes são
r=\frac{-10\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{-10\pm8}{2}.
Portanto
r_{1}=-1,\qquad r_{2}=-9.
Como as raízes são reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-9t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Aplicando as condições iniciais para encontrar C_{1} e C_{2}.
Primeiro avalio y_{h}(0):
y_{h}(0)=C_{1}+C_{2}.
A condição y(0)=1 dá
C_{1}+C_{2}=1. \tag{1}
Em seguida calculo a derivada:
y_{h}'(t)=-C_{1}e^{-t}-9C_{2}e^{-9t}.
Avaliando em t=0:
y_{h}'(0)=-C_{1}-9C_{2}.
A condição y'(0)=-3 dá
-C_{1}-9C_{2}=-3. \tag{2}
Agora resolvo o sistema linear formado por (1) e (2). Somando (1) e (2) dá:
Entendendo e preparando a resolução da parte (b): resposta ao impulso [h(t)).
A resposta ao impulso é a resposta do sistema quando x(t)=\delta(t) e com condições iniciais nulas. Para sistemas LTI é prático usar a transformada de Laplace: o impulso-resposta h(t) é a transformada inversa de H(s)=Y(s)/X(s) quando as condições iniciais são zero.
Tomando a transformada de Laplace da equação com condições iniciais nulas (todas as contribuições iniciais desaparecem), obtemos
Observação: o grau do numerador é igual ao do denominador, então existe um termo polinomial (termo em \delta(t) no domínio do tempo). Fazemos decomposição em frações parciais escrevendo
H(s)=K+\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+9},
onde K,A,B são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+9) obtemos
Substituindo K=1\] nas duas últimas equações:
\[\begin{cases} 10\cdot1 + A + B =2 \quad\Rightarrow\quad A+B=-8,\\[4pt] 9\cdot1 + 9A + B =0 \quad\Rightarrow\quad 9A+B=-9. \end{cases}\]
- Subtraindo as duas equações para eliminar \(B:
Observação física rápida (útil para prova): o termo \delta(t) aparece porque há um caminho direto (termo derivativo do lado direito) que produz resposta instantânea; os expoentes representam as dinâmicas naturais do sistema.]
Resposta
a) y_{\text{zi}}(t)=\dfrac{3}{4}e^{-t}+\dfrac{1}{4}e^{-9t}
b) h(t)=\delta(t)-\dfrac{1}{8}e^{-t}u(t)-\dfrac{63}{8}e^{-9t}u(t)