1. (2, 0) Utilizando os critérios de análise de estabilidade de Routh-Hurwitz, analise se o sistema abaixo é estável ou não. Informe quantos polos existem no semiplano direito do domínio de Laplace.
H(s)=\frac{s^{5}-s^{4}+2 s^{2}+2 s-3}{s^{7}+2 s^{6}+3 s^{5}+6 s^{4}+2 s^{3}+4 s^{2}+1 s+2}

Passo 1

O enunciado pede que, usando os critérios de Routh–Hurwitz, eu analise a estabilidade do sistema e informe quantos polos estão no semiplano direito do plano de Laplace. A função de transferência dada é
H(s)=\frac{s^{5}-s^{4}+2 s^{2}+2 s-3}{s^{7}+2 s^{6}+3 s^{5}+6 s^{4}+2 s^{3}+4 s^{2}+1 s+2}.
As informações relevantes (peguei do enunciado) são os coeficientes do polinômio denominador, que é de grau \,7:
D(s)=s^{7}+2s^{6}+3s^{5}+6s^{4}+2s^{3}+4s^{2}+1s+2.
O que é pedido:
  • Determinar se o sistema é estável (ou instável).
  • Informar quantos polos existem no semiplano direito (RHP).

Passo 2

Rápida explicação didática do método (o que vou usar):
  • O critério de Routh diz que o número de polos no semiplano direito é igual ao número de variações de sinal na primeira coluna da tabela de Routh (o Routh array).
  • Para montar a tabela de Routh, escrevemos a primeira linha com os coeficientes dos termos de potência ímpar (ordem decrescente) e a segunda linha com os coeficientes dos termos de potência par. Depois calculamos as linhas seguintes por uma fórmula que elimina colunas.
  • Fórmula para um elemento típico: se a linha acima (mais alta) tem primeiro elemento a_1 e elementos seguintes a_2,a_3,\dots, e a linha duas acima tem primeiro elemento b_1 e elementos seguintes b_2,b_3,\dots, então o primeiro elemento da nova linha é
\frac{a_1 b_2 - b_1 a_2}{a_1},
e assim por diante para os outros elementos (substituindo índices). É essa regra que vou aplicar passo a passo.
  • Se em algum momento uma linha inteira ficar composta por zeros, deve-se construir o polinômio auxiliar A(s) a partir da linha imediatamente acima (usando esses coeficientes como coeficientes de A(s) em potências decrescentes), tomar A'(s) e substituir a linha de zeros pelos coeficientes de A'(s). Vou explicar e aplicar isso quando ocorrer.

Passo 3

Montagem inicial da primeira e segunda linhas (peguei os coeficientes do denominador D(s)):
  • Linha s^{7} (coeficientes de s^{7},s^{5},s^{3},s^{1}): \,[1,\;3,\;2,\;1].
  • Linha s^{6} (coeficientes de s^{6},s^{4},s^{2},s^{0}): \,[2,\;6,\;4,\;2].
Ou seja:
\begin{array}{c|cccc} s^7 & 1 & 3 & 2 & 1\\[4pt] s^6 & 2 & 6 & 4 & 2\\\ \end{array}]

Passo 4

Calcular a linha s^{5} a partir das duas linhas acima usando a fórmula descrita. Para o primeiro elemento de s^{5}:
\frac{2\cdot 3 - 1\cdot 6}{2}=\frac{6-6}{2}=0.
Para os outros elementos da linha s^{5} obtemos os mesmos zeros:
\frac{2\cdot 2 - 1\cdot 4}{2}=0,\qquad \frac{2\cdot 1 - 1\cdot 2}{2}=0.
Portanto a linha s^{5} ficou inteira com zeros:
s^{5}:\;[0,\;0,\;0,\;0].
Quando uma linha inteira é zero, isso indica a presença de pares simétricos (em relação ao eixo imaginário) e exige o uso do polinômio auxiliar. Vou aplicar o procedimento padrão agora.

Passo 5

Construir o polinômio auxiliar A(s) a partir da linha imediatamente acima (linha s^{6} com coeficientes [2,6,4,2]). Esses coeficientes correspondem a potências decrescentes começando em s^{6}, logo:
A(s)=2s^{6}+6s^{5}+4s^{4}+2s^{3}.
Tomar a derivada:
A'(s)=12s^{5}+30s^{4}+16s^{3}+6s^{2}.
Substituir a linha de zeros pela sequência de coeficientes de A'(s) (organizados em colunas como os elementos da linha s^{5}):
s^{5}:\;[12,\;30,\;16,\;6].
Agora podemos continuar a construção normal da tabela usando essa linha em vez dos zeros.

Passo 6

Calcular a linha s^{4} usando as linhas s^{5}=[12,30,16,6] (linha acima) e s^{6}=[2,6,4,2] (duas acima). Aplicando a fórmula para cada coluna:
Primeiro elemento de s^{4}:
\frac{12\cdot 6 - 2\cdot 30}{12}=\frac{72-60}{12}=\frac{12}{12}=1.
Segundo elemento de s^{4}:
\frac{12\cdot 4 - 2\cdot 16}{12}=\frac{48-32}{12}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}.
Terceiro elemento de s^{4}:
\frac{12\cdot 2 - 2\cdot 6}{12}=\frac{24-12}{12}=\frac{12}{12}=1.
Logo:
s^{4}:\;[1,\;\tfrac{4}{3},\;1].
Agora a linha s^{3} é calculada a partir de s^{4} (linha acima) e s^{5} (duas acima).
Primeiro elemento de s^{3}:
\frac{1\cdot 30 - 12\cdot \tfrac{4}{3}}{1}=30-12\cdot\frac{4}{3}=30-16=14.
Segundo elemento de s^{3}:
\frac{1\cdot 16 - 12\cdot 1}{1}=16-12=4.
Terceiro elemento de s^{3} (se necessário usa-se zero onde não há elementos):
\frac{1\cdot 6 - 12\cdot 0}{1}=6.
Portanto:
s^{3}:\;[14,\;4,\;6].
Linha s^{2} a partir de s^{3}=[14,4,6] (linha acima) e s^{4}=[1,\tfrac{4}{3},1] (duas acima).
Primeiro elemento de s^{2}:
\frac{14\cdot \tfrac{4}{3} - 1\cdot 4}{14}=\frac{\tfrac{56}{3}-4}{14}=\frac{\tfrac{56}{3}-\tfrac{12}{3}}{14}=\frac{\tfrac{44}{3}}{14}=\frac{44}{42}=\frac{22}{21}.
Segundo elemento de s^{2}:
\frac{14\cdot 1 - 1\cdot 6}{14}=\frac{14-6}{14}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}.
Logo:
s^{2}:\;\left[\tfrac{22}{21},\;\tfrac{4}{7}\right].
Linha s^{1} a partir de s^{2}=\left[\tfrac{22}{21},\tfrac{4}{7}\right] (linha acima) e s^{3}=[14,4,6] (duas acima).
Primeiro elemento de s^{1}:
\frac{\tfrac{22}{21}\cdot 4 - 14\cdot \tfrac{4}{7}}{\tfrac{22}{21}} =\frac{\tfrac{88}{21} - \tfrac{56}{7}}{\tfrac{22}{21}} =\frac{\tfrac{88}{21} - \tfrac{168}{21}}{\tfrac{22}{21}} =\frac{-\tfrac{80}{21}}{\tfrac{22}{21}} =-\frac{80}{21}\cdot\frac{21}{22}=-\frac{80}{22}=-\frac{40}{11}.
Segundo elemento de s^{1}:
\frac{\tfrac{22}{21}\cdot 6 - 14\cdot 0}{\tfrac{22}{21}} =\frac{\tfrac{132}{21}}{\tfrac{22}{21}} =\frac{132}{22}=6.
Portanto:
s^{1}:\;[-\tfrac{40}{11},\;6].
Por fim, linha s^{0} a partir de s^{1}=[-\tfrac{40}{11},6] (linha acima) e s^{2}=[\tfrac{22}{21},\tfrac{4}{7}] (duas acima).
Primeiro (único) elemento de s^{0}:
\frac{-\tfrac{40}{11}\cdot \tfrac{4}{7} - \tfrac{22}{21}\cdot 6}{-\tfrac{40}{11}} =\frac{-\tfrac{160}{77} - \tfrac{132}{21}}{-\tfrac{40}{11}} =\frac{-\tfrac{160}{77} - \tfrac{484}{77}}{-\tfrac{40}{11}} =\frac{-\tfrac{644}{77}}{-\tfrac{40}{11}} =\tfrac{644}{77}\cdot\tfrac{11}{40} =\tfrac{644}{280}=\tfrac{161}{70}.
Assim a coluna de primeira entrada (primeira coluna do array de Routh) ficou, de cima para baixo:
\begin{array}{c} s^{7}: 1\\[2pt] s^{6}: 2\\[2pt] s^{5}: 12\\[2pt] s^{4}: 1\\[2pt] s^{3}: 14\\[2pt] s^{2}: \tfrac{22}{21}\\[2pt] s^{1}: -\tfrac{40}{11}\\[2pt] s^{0}: \tfrac{161}{70} \end{array}]

Passo 7

Contagem das variações de sinal na primeira coluna:
  • 1 (positivo) para 2 (positivo): sem alteração de sinal.
  • 2 (positivo) para 12 (positivo): sem alteração.
  • 12 para 1: sem alteração.
  • 1 para 14: sem alteração.
  • 14 para \tfrac{22}{21}: sem alteração.
  • \tfrac{22}{21} (positivo) para -\tfrac{40}{11} (negativo): 1 variação de sinal.
  • -\tfrac{40}{11} (negativo) para \tfrac{161}{70} (positivo): 2ª variação de sinal.
Total de variações de sinal: 2. Pelo critério de Routh, isso significa que há exatamente 2 polos no semiplano direito (RHP). Como existe pelo menos um polo em RHP, o sistema é instável.

Resposta

O sistema é instável.
Número de polos no semiplano direito: 2.

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