- (2, 0) Utilizando os critérios de análise de estabilidade de Routh-Hurwitz, analise se o sistema abaixo é estável ou não. Informe quantos polos existem no semiplano direito do domínio de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede que, usando os critérios de Routh–Hurwitz, eu analise a estabilidade do sistema e informe quantos polos estão no semiplano direito do plano de Laplace. A função de transferência dada é
As informações relevantes (peguei do enunciado) são os coeficientes do polinômio denominador, que é de grau
:
O que é pedido:
- Determinar se o sistema é estável (ou instável).
- Informar quantos polos existem no semiplano direito (RHP).
Passo 2
Rápida explicação didática do método (o que vou usar):
- O critério de Routh diz que o número de polos no semiplano direito é igual ao número de variações de sinal na primeira coluna da tabela de Routh (o Routh array).
- Para montar a tabela de Routh, escrevemos a primeira linha com os coeficientes dos termos de potência ímpar (ordem decrescente) e a segunda linha com os coeficientes dos termos de potência par. Depois calculamos as linhas seguintes por uma fórmula que elimina colunas.
- Fórmula para um elemento típico: se a linha acima (mais alta) tem primeiro elemento
e elementos seguintes , e a linha duas acima tem primeiro elemento e elementos seguintes , então o primeiro elemento da nova linha é
e assim por diante para os outros elementos (substituindo índices). É essa regra que vou aplicar passo a passo.
- Se em algum momento uma linha inteira ficar composta por zeros, deve-se construir o polinômio auxiliar
a partir da linha imediatamente acima (usando esses coeficientes como coeficientes de em potências decrescentes), tomar e substituir a linha de zeros pelos coeficientes de . Vou explicar e aplicar isso quando ocorrer.
Passo 3
Montagem inicial da primeira e segunda linhas (peguei os coeficientes do denominador
):
- Linha
(coeficientes de ): . - Linha
(coeficientes de ): .
Ou seja:
Passo 4
Calcular a linha
a partir das duas linhas acima usando a fórmula descrita. Para o primeiro elemento de
:
Para os outros elementos da linha
obtemos os mesmos zeros:
Portanto a linha
ficou inteira com zeros:
Quando uma linha inteira é zero, isso indica a presença de pares simétricos (em relação ao eixo imaginário) e exige o uso do polinômio auxiliar. Vou aplicar o procedimento padrão agora.
Passo 5
Construir o polinômio auxiliar
a partir da linha imediatamente acima (linha
com coeficientes
). Esses coeficientes correspondem a potências decrescentes começando em
, logo:
Tomar a derivada:
Substituir a linha de zeros pela sequência de coeficientes de
(organizados em colunas como os elementos da linha
):
Agora podemos continuar a construção normal da tabela usando essa linha em vez dos zeros.
Passo 6
Calcular a linha
usando as linhas
(linha acima) e
(duas acima). Aplicando a fórmula para cada coluna:
Primeiro elemento de
:
Segundo elemento de
:
Terceiro elemento de
:
Logo:
Agora a linha
é calculada a partir de
(linha acima) e
(duas acima).
Primeiro elemento de
:
Segundo elemento de
:
Terceiro elemento de
(se necessário usa-se zero onde não há elementos):
Portanto:
Linha
a partir de
(linha acima) e
(duas acima).
Primeiro elemento de
:
Segundo elemento de
:
Logo:
Linha
a partir de
(linha acima) e
(duas acima).
Primeiro elemento de
:
Segundo elemento de
:
Portanto:
Por fim, linha
a partir de
(linha acima) e
(duas acima).
Primeiro (único) elemento de
:
Assim a coluna de primeira entrada (primeira coluna do array de Routh) ficou, de cima para baixo:
Passo 7
Contagem das variações de sinal na primeira coluna:
-
(positivo) para (positivo): sem alteração de sinal. -
(positivo) para (positivo): sem alteração. -
para : sem alteração. -
para : sem alteração. -
para : sem alteração. -
(positivo) para (negativo): 1 variação de sinal. -
(negativo) para (positivo): 2ª variação de sinal.
Total de variações de sinal:
. Pelo critério de Routh, isso significa que há exatamente
polos no semiplano direito (RHP). Como existe pelo menos um polo em RHP, o sistema é instável.
Resposta
O sistema é instável.
Número de polos no semiplano direito: .
Número de polos no semiplano direito: