Seja
, uma amostra aleatória de uma população com média
e variância
. Considere os três estimadores de
:
Verifique se os estimadores acima são ou não tendenciosos.
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos uma amostra aleatória
de uma população com média
e variância
, e define três estimadores diferentes de
:
O que a gente precisa fazer é verificar se cada um desses estimadores é tendencioso ou não.
Para isso, usaremos:
Para isso, usaremos:
- Definição de viés (bias) de um estimador
:
. - Linearidade da esperança:
.
Passo 2
Vamos começar por
.
Pela linearidade da expectativa:
Então o viés é
,
ou seja, é não tendencioso.
ou seja,
Passo 3
Agora
, que já é bem conhecido:
Também vale pela linearidade:
Logo
,
ou seja, também é não tendencioso.
ou seja,
Passo 4
Por fim
:
Vamos calcular a esperança:
Como cada
e são
termos no somatório do meio:
Logo
,
ou seja, também é não tendencioso.
ou seja,
Resposta
Todos os três estimadores
,
e
são não tendenciosos (bias = 0).