Seja X1, X2, ldots, Xn, n>3, uma amostra aleatória de uma população com média mu e variância sigma^2. Considere os três estimadores de mu:
cc theta1=13(X1+X2+X3) & theta2=barX theta3=18 X1+34(n-2)(X2+ldots+Xn-1)+18 Xn
Verifique se os estimadores acima são ou não tendenciosos.

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos uma amostra aleatória hattheta1 = 13(X1+X2+X3), hattheta2 = bar X, hattheta3 = 18X1+34(n-2)sumi=2^n-1Xi+18Xn de uma população com média e variância , e define três estimadores diferentes de :
O que a gente precisa fazer é verificar se cada um desses estimadores é tendencioso ou não.
Para isso, usaremos:
  1. Definição de viés (bias) de um estimador :
    .
  2. Linearidade da esperança: .

Passo 2

Vamos começar por hattheta1=13(X1+X2+X3) .
E[hattheta1] =13l(E[X1]+E[X2]+E[X3]r) =13(mu+mu+mu) =mu
Pela linearidade da expectativa:
Então o viés é
,
ou seja, é não tendencioso.

Passo 3

Agora bar X = 1nsumi=1^n Xi , que já é bem conhecido:
E[bar X] =1nsumi=1^nE[Xi] =1n,nmu =mu
Também vale pela linearidade:
Logo ,
ou seja, também é não tendencioso.

Passo 4

Por fim hattheta3 =18X1+34(n-2)sumi=2^n-1Xi+18Xn :
E[hattheta3] =18E[X1] +34(n-2)sumi=2^n-1E[Xi] +18E[Xn]
Vamos calcular a esperança:
E[hattheta3] =18mu + 34(n-2),(n-2)mu + 18mu =mu8 + 3mu4 + mu8 =mu8+mu8+3mu4 =mu
Como cada e são termos no somatório do meio:
Logo ,
ou seja, também é não tendencioso.

Resposta

Todos os três estimadores , e são não tendenciosos (bias = 0).

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