Seja X1, X2, ldots, Xn, n>3, uma amostra aleatória de uma população com média mu e variância sigma^2. Considere os três estimadores de mu:
cc theta1=13(X1+X2+X3) & theta2=barX theta3=18 X1+34(n-2)(X2+ldots+Xn-1)+18 Xn
Qual dos três estimadores é mais eficiente na estimação da média de X.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos uma amostra aleatória (com ) de uma população com média e variância . A tarefa é comparar três estimadores diferentes de :
,
,
.
Conteúdo: estimação pontual e eficiência (compara variâncias). Vamos precisar:
  • Mostrar que cada estimador é viesado ou não (aqui todos são não viesados).
  • Calcular a variância de cada estimador.
  • Ver qual tem menor variância -> mais eficiente.

Passo 2

Primeira coisa: conferir se cada estimador é não viesado.
  • Lembrando que, se , então
    .
Para , a soma dos coeficientes é .
Para , .
Para , .
Logo todos são não viesados: .

Passo 3

Agora, variância de um estimador linear:
(pela independência).
  1. Var(hattheta3) =132sigma^2+916(n-2)sigma^2 =n+1632(n-2),sigma^2

  2. tem coeficiente em e nos do meio.

    Vamos simplificar:
    • os dois extremos dão ,
    • o meio dá .
      Então

Passo 4

Comparamos agora:
  • ,
  • ,
  • .
Como , é sempre menor que . E analisando versus dá igualdade só em ; para qualquer outro a variância de é maior que .
Portanto, para todo , é a menor ou, no pior caso ( ), empata com a de , mas nunca fica acima.

Resposta

O estimador é o mais eficiente (menor variância) na estimação de .

Exercícios relacionados