Seja
, uma amostra aleatória de uma população com média
e variância
. Considere os três estimadores de
:
Qual dos três estimadores é mais eficiente na estimação da média de X.
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos uma amostra aleatória
(com
) de uma população com média
e variância
. A tarefa é comparar três estimadores diferentes de
:
,
,
.
Conteúdo: estimação pontual e eficiência (compara variâncias). Vamos precisar:
- Mostrar que cada estimador é viesado ou não (aqui todos são não viesados).
- Calcular a variância de cada estimador.
- Ver qual tem menor variância -> mais eficiente.
Passo 2
Primeira coisa: conferir se cada estimador é não viesado.
- Lembrando que, se
, então
.
Para
, a soma dos coeficientes é
.
Para ,
.
Para ,
.
Para
Para
Logo todos são não viesados:
.
Passo 3
Agora, variância de um estimador linear:
(pela independência).
(pela independência).
-
-
-
tem coeficiente em e nos do meio.
Vamos simplificar:- os dois extremos dão
, - o meio dá
.
Então
- os dois extremos dão
Passo 4
Comparamos agora:
- ,
- ,
- .
Como
,
é sempre menor que
. E analisando
versus
dá igualdade só em
; para qualquer outro
a variância de
é maior que
.
Portanto, para todo
, é a menor ou, no pior caso (
), empata com a de
, mas nunca fica acima.
Resposta
O estimador
é o mais eficiente (menor variância) na estimação de
.