Seja theta um estimador do parâmetro theta de uma variável aleatória com função de densidade f(x, theta) - ou probabilidade P(x, theta).
Se X Bernoulli(p), mostre que barX é eficiente na estimação de p.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma amostra bar X = 1nsumi=1^n Xi de variáveis i.i.d. com distribuição Bernoulli de parâmetro . O objetivo é mostrar que o estimador
é eficiente para estimar .
Conteúdo: teoria de estimação – vamos usar definição de estimador não viesado, calcular a variância de , encontrar a Informação de Fisher e aplicar o Desigualdade de Cramér–Rao (CRLB).

Passo 2

Primeiro, veja que cada E[bar X] = 1nsumi=1^n E[Xi] = 1nsumi=1^n p = p vale 1 com probabilidade Var(bar X) = 1n^2sumi=1^n Var(Xi) = 1n^2,n,l[p(1-p)r] = p(1-p)n e 0 com probabilidade .
  1. Não-viesado:
  2. Variância de : como as são independentes,

Passo 3

Agora, Informação de Fisher para um único f(x;p)=p^x(1-p)^1-x, xin0,1 . A função de massa é
ell(p)=ln f(x;p)=xln p+(1-x)ln(1-p)
O log‐verossimilhança para um só valor é
partialellpartial p =xp-1-x1-p
Derivando em I(p) =El[l(tfracpartialellpartial pr)^2r] =1p(1-p) :
In(p)=n,I(p)=np(1-p)
E a informação de Fisher é
Var(hat p);>=;1In(p) =p(1-p)n
Como temos observações independentes, a informação total é
Pela Cramér–Rao, para todo estimador não‐viesado :

Passo 4

Repare que a variância de Var(bar X)=p(1-p)n, que calculamos no Passo 2 é exatamente
ou seja, ela atinge a igualdade da CRLB.

Resposta

Como é não‐viesado e sua variância é igual ao limite inferior de Cramér–Rao, concluímos que é eficiente para estimar .

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