Seja
um estimador do parâmetro
de uma variável aleatória com função de densidade
- ou probabilidade
.
Se
, mostre que
é eficiente na estimação de p.
Se
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma amostra
de variáveis i.i.d. com distribuição Bernoulli de parâmetro
. O objetivo é mostrar que o estimador
é eficiente para estimar
.
Conteúdo: teoria de estimação – vamos usar definição de estimador não viesado, calcular a variância de , encontrar a Informação de Fisher
e aplicar o Desigualdade de Cramér–Rao (CRLB).
Conteúdo: teoria de estimação – vamos usar definição de estimador não viesado, calcular a variância de
Passo 2
Primeiro, veja que cada
vale 1 com probabilidade
e 0 com probabilidade
.
- Não-viesado:
- Variância de
: como as são independentes,
Passo 3
Agora, Informação de Fisher para um único
. A função de massa é
O log‐verossimilhança para um só valor é
Derivando em
:
E a informação de Fisher é
Como temos
observações independentes, a informação total é
Pela Cramér–Rao, para todo estimador não‐viesado
:
Passo 4
Repare que a variância de
que calculamos no Passo 2 é exatamente
ou seja, ela atinge a igualdade da CRLB.
Resposta
Como
é não‐viesado e sua variância é igual ao limite inferior de Cramér–Rao, concluímos que
é eficiente para estimar
.