Seja X1, X2, ldots, Xn uma amostra de uma variável aleatória de Poisson de parâmetro lambda e seja a estatística lambda=alpha sumi=1^n-1 Xi(Xi-Xj) um estimador de lambda. Obtenha o valor de alpha de modo que lambda seja um estimador não tendencioso para lambda.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos uma amostra hatlambda ;=;alphasumi=1^n-1Xi,(Xi - Xi+1) de uma distribuição de Poisson com parâmetro E[hatlambda];=;lambda . A estatística que nos deram é
e a gente precisa escolher de modo que seja não tendencioso, ou seja, que
O conteúdo aqui é: estimador não tendencioso (unbiasedness), propriedades da esperança e da Poisson. Vamos usar
  1. ,
  2. independência para separar expectativas,
  3. para Poisson , , logo .

Passo 2

Calculemos primeiro
E!l[Xi,(Xi - Xi+1)r] =E[Xi^2] ;-;E[XiXi+1]
Como E[Xi^2] =Var(Xi)+l(E[Xi]r)^2 =lambda+lambda^2 e E!l[Xi(Xi - Xi+1)r] =(lambda+lambda^2)-lambda^2 =lambda são independentes, El[sumi=1^n-1Xi(Xi - Xi+1)r] =(n-1),lambda .
Também, pela Poisson,
Então
Como isso vale igual para cada ,

Passo 3

Agora voltamos à esperança de E[hatlambda] =alpha,El[sumi=1^n-1Xi(Xi - Xi+1)r] =alpha,(n-1),lambda :
alpha,(n-1),lambda ;=;lambda Longrightarrow alpha,(n-1)=1 Longrightarrow alpha=1,n-1,
Impondo não–tendenciosidade, queremos . Logo

Resposta

boxedalpha=1n-1

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