Os dados amostrais seguintes são de uma população normal: 10,8,12,15,13,11,6, 5.
a) Qual é a estimativa pontual da média populacional?
b) Qual é a estimativa pontual do desvio padrão populacional?
c) Com 95 \% de confiança, qual é a margem de erro da estimativa da média populacional?
d) Qual é o intervalo de confiança de 95% para a média populacional?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados amostrais (pegos do enunciado): 10,8,12,15,13,11,6,5.
O enunciado pede:
(a) a estimativa pontual da média populacional;
(b) a estimativa pontual do desvio padrão populacional;
(c) com 95\% de confiança, a margem de erro da estimativa da média populacional;
(d) o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional.

Passo 2

Estimativa pontual da média populacional — definição e cálculo passo a passo.
Definição: a estimativa pontual padrão para a média populacional é a média amostral \bar{x}, dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o tamanho da amostra e x_i são as observações.
Aqui n=8. Primeiro somar os valores:
\sum_{i=1}^{8} x_i = 10+8+12+15+13+11+6+5 = 80.
Portanto
\bar{x}=\frac{80}{8}=10.

Passo 3

Estimativa pontual do desvio padrão populacional — escolha do estimador e cálculo detalhado.
Comentário importante (didático): quando a variância/desvio padrão da população é desconhecida (caso habitual), o estimador mais usado é o desvio-padrão amostral s calculado com denominador n-1. Isso porque dividir por n-1 torna o estimador da variância amostral não viesado (ou seja, \mathbb{E}[s^2]=\sigma^2). Logo usaremos
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^{2}}.
Calcular as diferenças x_i-\bar{x} e seus quadrados:
\begin{aligned} 10-10&=0&\Rightarrow&\\\ 0^2=0,\\\\ 8-10&=-2&\Rightarrow&\\ (-2)^2=4,\\\\ 12-10&=2&\Rightarrow&\\\ 2^2=4,\\\\ 15-10&=5&\Rightarrow&\\\ 5^2=25,\\\\ 13-10&=3&\Rightarrow&\\\ 3^2=9,\\\\ 11-10&=1&\Rightarrow&\\\ 1^2=1,\\\\ 6-10&=-4&\Rightarrow&\\ (-4)^2=16,\\\\ 5-10&=-5&\Rightarrow&\\ (-5)^2=25. \end{aligned}
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^8 (x_i-\bar{x})^{2}=0+4+4+25+9+1+16+25=84.
A variância amostral (com n-1) é
s^{2}=\frac{84}{8-1}=\frac{84}{7}=12.
Então o desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{12}\approx 3,464.
Observação adicional (opcional): se alguém usasse a fórmula com denominador n (a “desvio padrão populacional calculado direto da amostra”), obteria \sqrt{84/8}=\sqrt{10{,}5}\approx 3{,}240. Mas o procedimento padrão para estimar \sigma a partir de uma amostra usa s com n-1, então é esse que adotamos.

Passo 4

Margem de erro da estimativa da média com 95\% de confiança — conceito e fórmula.
Quando a população é normal, a amostra é pequena ( n=8) e o desvio-padrão populacional é desconhecido, usa-se a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. A margem de erro E para um nível de confiança 1-\alpha é
E = t_{\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil superior da distribuição t com n-1 graus de liberdade (por exemplo, para 95\% de confiança, \alpha=0{,}05 e usamos t_{0{,}025,\;n-1});
  • s é o desvio-padrão amostral (calculado no passo anterior);
  • \sqrt{n} é a raiz do tamanho amostral; \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média.

Passo 5

Cálculo numérico da margem de erro.
Aqui n=8, então os graus de liberdade são n-1=7. Para 95\% de confiança buscamos t_{0{,}025,7}. Pelo quadro da t-Student (ou calculadora), tem-se
t_{0{,}025,7}\approx 2{,}3646.
O erro padrão da média é
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{8}}=\frac{3{,}4641016\ldots}{2{,}8284271\ldots}\approx 1{,}224745.
Logo a margem de erro é
E \approx 2{,}3646\times 1{,}224745 \approx 2{,}896.

Passo 6

Cálculo do intervalo de confiança de 95\% e interpretação.
O intervalo de confiança de 95\% para a média populacional é
\bar{x}\pm E.
Substituindo os valores:
10 \pm 2{,}896.
Portanto o intervalo é aproximadamente
(10-2{,}896,\;10+2{,}896)=(7{,}104,\;12{,}896).
Interpretação (didática e curta): isso significa que, com o procedimento usado (amostra de n=8, pressuposto de normalidade, uso da t-distribuição), temos 95\% de confiança de que a média verdadeira da população está entre \,7{,}104 e \,12{,}896.
Força aí — fez certinho seguindo os passos!

Resposta

(a) \bar{x}=10
(b) s=\sqrt{12}\approx 3{,}464
(c) E\approx 2{,}896
(d) Intervalo de confiança 95\%: (7{,}104,\;12{,}896)

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