Seja X1 ldots Xn uma amostra de população com as densidades ou frequências de função listadas abaixo. Para cada uma delas, encontrar o E.M.V de theta.
f(x, theta)=xtheta^2 e^-x^22 theta^2, x>0, theta>0.

Passo 1

Beleza, temos uma amostra X₁,…,Xₙ de uma distribuição cuja densidade é
f(x;theta)=xtheta^2,exp!l(-x^22theta^2r), x>0,;theta>0
O assunto é Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV). Vamos precisar lembrar que a verossimilhança é o produto das densidades avaliadas na amostra, usar logaritmo para simplificar (log-verossimilhança) e resolver derivando em relação a θ, igualando a zero para achar o ponto que maximiza.

Passo 2

Escrevendo a função de verossimilhança L(θ):
L(theta) =prodi=1^n f(xi;theta) =prodi=1^nl(xitheta^2e^-xi^2/(2theta^2)r) =prodi xitheta^2n, exp!l(-12theta^2sumi=1^n xi^2r)
Agora aplicamos logaritmo (porque log transforma produto em soma e facilita a derivada):
ell(theta)=ln L(theta) =-2nlntheta -12theta^2sumi=1^n xi^2 +constante (não dep de theta) ã

Passo 3

Para achar o máximo, derivamos ℓ(θ) em relação a θ e igualamos a zero.
Primeiro a derivada:
delldtheta =-2n1theta ;-;l(-1r)1theta^3,12sumi xi^2 =-2ntheta+sumi xi^2theta^3
Agora iguala a zero:
-2ntheta+sumi xi^2theta^3=0 Longrightarrow sumi xi^2theta^3=2ntheta Longrightarrow sumi xi^2 = 2n,theta^2
Dessa equação isolamos θ²:
theta^2 = 12nsumi=1^n xi^2 Longrightarrow theta = raiz12nsumi=1^n xi^2

Passo 4

Só para garantir que é máximo, poderíamos checar a segunda derivada de ℓ(θ), mas como a função foge para –∞ quando θ→0 ou θ→∞, esse ponto crítico é de fato o máximo de verossimilhança.

Resposta

boxedhatthetaEMV =raiz12nsumi=1^n xi^2

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