Seja
uma amostra de população com as densidades ou frequências de função listadas abaixo. Para cada uma delas, encontrar o E.M.V de
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Passo 1
Beleza, temos uma amostra X₁,…,Xₙ de uma distribuição cuja densidade é
O assunto é Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV). Vamos precisar lembrar que a verossimilhança é o produto das densidades avaliadas na amostra, usar logaritmo para simplificar (log-verossimilhança) e resolver derivando em relação a θ, igualando a zero para achar o ponto que maximiza.
Passo 2
Escrevendo a função de verossimilhança L(θ):
Agora aplicamos logaritmo (porque log transforma produto em soma e facilita a derivada):
Passo 3
Para achar o máximo, derivamos ℓ(θ) em relação a θ e igualamos a zero.
Primeiro a derivada:
Primeiro a derivada:
Agora iguala a zero:
Dessa equação isolamos θ²:
Passo 4
Só para garantir que é máximo, poderíamos checar a segunda derivada de ℓ(θ), mas como a função foge para –∞ quando θ→0 ou θ→∞, esse ponto crítico é de fato o máximo de verossimilhança.