Seja X1 ldots Xn uma amostra de população com as densidades ou frequências de função listadas abaixo. Para cada uma delas, encontrar o E.M.V de theta.
f(x, theta)=theta e^-theta x, x >= 0, theta>0.

Passo 1

Beleza, olha o que o enunciado diz: a gente tem uma amostra X1,dots,Xn que vem de uma distribuição com densidade
f(x,theta)=theta e^-theta x, x>=0,;theta>0
O que a gente quer é o E.M.V. (estimador de máxima verossimilhança) para o parâmetro theta.
Conteúdo envolvido: método da verossimilhança – vamos escrever a função de verossimilhança, passar para o log, derivar, igualar a zero e checar que é máximo.

Passo 2

Primeiro, monta-se a função de verossimilhança L(theta), que é o produto das densidades para cada observação:
L(theta) =prodi=1^n f(Xi,theta) =prodi=1^n l(theta e^-theta Xir) =theta^n ,e^-thetasumi=1^n Xi

Passo 3

Para facilitar, a gente pega o logaritmo da verossimilhança (log-verossimilhança):
ell(theta) =ln L(theta) =lnl(theta^n e^-thetasum Xir) =nlntheta ;-;thetasumi=1^n Xi
Agora derivamos em relação a theta e igualamos a zero:
delldtheta =ntheta;-;sumi=1^n Xi =;0 ;;Longrightarrow;; ntheta =sumi=1^n Xi ;;Longrightarrow;; hattheta =nsumi=1^n Xi

Passo 4

Só para garantir que é máximo (e não mínimo), checamos a segunda derivada:
d^2elldtheta^2 =-ntheta^2<0(foralltheta>0),
logo é mesmo um ponto de máximo.

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança de theta é
boxedhattheta ;=;nsumi=1^n Xi

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