Seja X1 ldots Xn uma amostra de população com as densidades ou frequências de função listadas abaixo. Para cada uma delas, encontrar o E.M.V de theta.
f(x, theta)=theta c^theta x^-(theta+1), x >= c, c cte, theta>0.

Passo 1

Beleza, então o que o enunciado tá pedindo é: temos uma amostra f(x;theta)=theta,c^theta,x^-(theta+1), x>= c,;theta>0, de uma população cuja densidade é
e a gente precisa achar o estimador de máxima verossimilhança (EMV) para .
Conteúdo: estimação por máxima verossimilhança. Vamos precisar montar a função de verossimilhança, passar pra log-verossimilhança, derivar, igualar a zero e resolver. Tranquilo?

Passo 2

Primeiro, montamos a função de verossimilhança L(theta) =prodi=1^n f(Xi;theta) =prodi=1^n l[theta,c^theta,Xi^-(theta+1)r] , que é o produto das densidades individuais:
L(theta) =theta^n;c^ntheta;prodi=1^n Xi^-(theta+1)
Como os fatores se repetem, dá pra escrever

Passo 3

Agora, pra facilitar a conta, a gente passa pra log-verossimilhança:
ell(theta)=ln L(theta) = nlntheta ;+; nthetaln c ;+;sumi=1^nlnl(Xi^-(theta+1)r)
E como ell(theta) = nlntheta ;+; nthetaln c ;-;(theta+1)sumi=1^nln Xi , fica

Passo 4

Pra achar o máximo, derivamos delldtheta =ntheta;+;nln c;-;sumi=1^nln Xi ;stackrel!=;0 em relação a e igualamos a zero:
Esse passo vem da regra básica de derivada:
  • ,
  • ,
  • .

Passo 5

Agora é só isolar ntheta + nln c = sumi=1^nln Xi, . Da equação
ntheta = sumi=1^nln Xi ;-; nln c = sumi=1^nlnXic
vem
hatthetarm EMV =n sumi=1^nlnXic
Logo,

Resposta

boxedhatthetarm EMV =nsumi=1^n ln!l(Xi/cr)

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