Seja X1 ldots Xn uma amostra de população com densidade normal (média mu e variância sigma^2 ).
Obtenha o E.M.M. de theta=mu.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos uma amostra vinda de uma distribuição normal com média e variância . A questão pede o E.M.M. (Estimador de Máxima Verossimilhança) para .
Conteúdo: estimativa por máxima verossimilhança em distribuições contínuas, derivação de log-verossimilhança.

Passo 2

Primeiro a gente monta a função de verossimilhança. Como cada f(xi;mu) ;=; 1raiz2pisigma^2 exp!l(-(xi-mu)^22sigma^2r) é normal, a densidade é
L(mu) ;=; prodi=1^n f(xi;mu) ;=; l(1raiz2pisigma^2r)^n exp!l(-sumi=1^n (xi-mu)^22sigma^2r)
Como os são independentes, a verossimilhança é o produto:

Passo 3

Para facilitar, trabalhamos com a log-verossimilhança:
ell(mu) = ln L(mu) = -n2ln(2pisigma^2) ;-; 12sigma^2sumi=1^n (xi-mu)^2
Aqui a ideia é tirar derivada de em relação a e igualar a zero para achar o ponto crítico.

Passo 4

Vamos derivar:
dell(mu)dmu = -12sigma^2 cdot 2 sumi=1^n (xi - mu),(-1) = 1sigma^2 sumi=1^n (xi - mu)
A condição de máximo é sumi=1^n (xi - mu) = 0 , ou seja

Passo 5

Desse somatório a gente tira que
sumi=1^n xi - nmu = 0 Longrightarrow mu = 1n sumi=1^n xi
Na prática, isso significa que o estimador que maximiza a verossimilhança é a média amostral.

Resposta

O E.M.M. para hatmuML = bar X = 1nsumi=1^n Xi é

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