Seja
uma amostra de população com densidade normal (média
e variância
).
Obtenha o E.M.M. de
.
Obtenha o E.M.M. de
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos uma amostra
vinda de uma distribuição normal com média
e variância
. A questão pede o E.M.M. (Estimador de Máxima Verossimilhança) para
.
Conteúdo: estimativa por máxima verossimilhança em distribuições contínuas, derivação de log-verossimilhança.
Conteúdo: estimativa por máxima verossimilhança em distribuições contínuas, derivação de log-verossimilhança.
Passo 2
Primeiro a gente monta a função de verossimilhança. Como cada
é normal, a densidade é
Como os
são independentes, a verossimilhança é o produto:
Passo 3
Para facilitar, trabalhamos com a log-verossimilhança:
Aqui a ideia é tirar derivada de
em relação a
e igualar a zero para achar o ponto crítico.
Passo 4
Vamos derivar:
A condição de máximo é
, ou seja
Passo 5
Desse somatório a gente tira que
Na prática, isso significa que o estimador que maximiza a verossimilhança é a média amostral.
Resposta
O E.M.M. para
é