Seja (X1, X2, ldots, Xn) uma amostra de tamanho n de uma variável aleatória X com média mu e desvio padrão sigma.
O que acontece com B[barX^2] quando n cresce infinitamente?

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que o exercício está pedindo.
Enunciado resumido: temos uma amostra iid Bl[bar X^2r] de uma variável B[T]=E(T)-theta com média e desvio padrão . Queremos estudar o comportamento do viés
quando cresce muito.
Conteúdo envolvido:
  • Definição de esperança (média) e variância.
  • Propriedade de que
    .
  • Definição de viés de um estimador para um parâmetro :
O que vamos precisar:
  1. Calcular .
  2. Subtrair para achar o viés .
  3. Fazer .

Passo 2

Primeiro, lembra que Var(bar X) = 1n^2sumi=1^n Var(Xi) = n,sigma^2n^2 = sigma^2n . Como cada tem média e variância , a variância da média é
Também sabemos que .

Passo 3

Agora usamos a identidade
E(bar X^2) = Var(bar X) + l(E(bar X)r)^2 = sigma^2n + mu^2
O viés de Bl[bar X^2r] = E(bar X^2) - mu^2 = sigma^2n + mu^2 - mu^2 = sigma^2n para estimar é

Passo 4

Agora basta ver o que acontece quando limntoinfty Bl[bar X^2r] = limntoinfty sigma^2n = 0 . Como é uma constante,

Resposta

O viés tende a zero quando cresce infinitamente.

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