Seja (X1, X2, ldots, Xn) uma amostra aleatória de uma variável normalmente distribuída com parâmetros mu e sigma^2.
Apresente os EMV dos parâmetros, mu e sigma^2.

Passo 1

Beleza, aqui a questão é a gente ter uma amostra aleatória
de uma Normal com média e variância .
O que a gente vai usar é o método da máxima verossimilhança (EMV) — ou seja,
escrevemos a função de verossimilhança, passamos pro logaritmo, derivamos em
relação a e , igualamos a zero e achamos os estimadores.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a densidade de cada f(xi;mu,sigma^2) =1raiz2pisigma^2 exp!l(-(xi-mu)^22sigma^2r) :
L(mu,sigma^2) =prodi=1^n f(xi;mu,sigma^2) =l(2pisigma^2r)^-n/2 exp!l(-12sigma^2sumi=1^n(xi-mu)^2r)
Como os ell(mu,sigma^2) =ln L =-n2ln(2pisigma^2) -12sigma^2sumi=1^n(xi-mu)^2 são independentes, a verossimilhança é
Fica bem mais fácil trabalhar com o logaritmo dela:

Passo 3

Agora derivamos partialellpartialmu =-12sigma^2cdot 2sumi=1^n(xi-mu),(-1) =1sigma^2sumi=1^n(xi-mu) em relação a 1sigma^2sumi=1^n(xi-mu)=0 Longrightarrow sumi=1^n xi ;-;nmu=0 ;Longrightarrow; mu=1nsumi=1^n xi =overline X e igualamos a zero:
Colocando igual a zero:

Passo 4

Agora derivada em relação a partialellpartialsigma^2 =-n2,1sigma^2 +12(sigma^2)^2sumi=1^n(xi-mu)^2 :
-n2sigma^2 +12(sigma^2)^2sumi=1^n(xi-overline X)^2 =0 ;Longrightarrow; nsigma^2 =sumi=1^n(xi-overline X)^2 ;Longrightarrow; sigma^2 =1nsumi=1^n(xi-overline X)^2
Igualando a zero e usando :

Resposta

hatmuEMV=overline X e hatsigma^2EMV =1nsumi=1^nl(Xi-overline Xr)^2

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