Seja
a variância de uma amostra aleatória de uma população infinita com variância finita
. Mostre que
é um estimador não tendencioso de
.
Passo 1
Beleza, então a questão diz: “Seja
a variância de uma amostra aleatória de uma população infinita com variância finita
. Mostre que
é um estimador não tendencioso de
.”
Conteúdo: teoria de estimadores em Estatística – bias (viés) e esperança matemática.
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de estimadores em Estatística – bias (viés) e esperança matemática.
O que vamos precisar:
- Definição de
. - Propriedades da esperança (E) e variância de
. - A identidade
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a esperança de
:
Agora vamos usar a identidade clássica de soma de quadrados:
Isso ajuda a separar termos que a gente conhece a esperança.
Passo 3
Substituindo na esperança:
Agora, por linearidade da esperança:
-
, já que cada tem variância . -
Passo 4
Juntando os dois resultados:
Logo, voltando a
:
Resposta
Mostramos que
. Ou seja,
é de fato um estimador não tendencioso de
.