Seja S^2 a variância de uma amostra aleatória de uma população infinita com variância finita sigma^2. Mostre que S^2 é um estimador não tendencioso de sigma^2.

Passo 1

Beleza, então a questão diz: “Seja a variância de uma amostra aleatória de uma população infinita com variância finita . Mostre que é um estimador não tendencioso de .”
Conteúdo: teoria de estimadores em Estatística – bias (viés) e esperança matemática.
O que vamos precisar:
  1. Definição de .
  2. Propriedades da esperança (E) e variância de .
  3. A identidade .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a esperança de E[S^2] = E!gl[1n-1sumi=1^n(Xi-bar X)^2gr] = 1n-1;E!l[sumi=1^n(Xi-bar X)^2r] :
sumi=1^n(Xi-bar X)^2 = sumi=1^n(Xi-mu)^2;-;n(bar X-mu)^2
Agora vamos usar a identidade clássica de soma de quadrados:
Isso ajuda a separar termos que a gente conhece a esperança.

Passo 3

Substituindo na esperança:
E!l[sum (Xi-bar X)^2r] = E!l[sum (Xi-mu)^2r] ;-; El[n(bar X-mu)^2r]
Agora, por linearidade da esperança:
  1. , já que cada tem variância .

Passo 4

Juntando os dois resultados:
E!l[sum (Xi-bar X)^2r] = n,sigma^2 ;-; sigma^2 = (n-1),sigma^2
Logo, voltando a E[S^2] = 1n-1;E!l[sum (Xi-bar X)^2r] = 1n-1;(n-1),sigma^2 = sigma^2 :

Resposta

Mostramos que . Ou seja, é de fato um estimador não tendencioso de .

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