Seja
uma amostra de tamanho n de uma variável aleatória X com média
e desvio padrão
.
Mostre que
é um estimador tendencioso de
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos uma amostra
de uma variável aleatória
que tem média
e desvio padrão
. A gente quer mostrar que o estimador
(o quadrado da média amostral) é tendencioso para estimar
.
Conteúdo envolvido: teoria de estimadores, cálculo de expectativa, variância e definição de viés (bias). Vamos precisar lembrar da relação
Conteúdo envolvido: teoria de estimadores, cálculo de expectativa, variância e definição de viés (bias). Vamos precisar lembrar da relação
e do fato de que
e .
Passo 2
Definindo o viés do estimador
:
Se esse viés for diferente de zero, o estimador é tendencioso. Então nosso job é achar
.
Passo 3
Usamos a identidade que liga variância e expectativa ao segundo momento:
Como a média amostral tem
e , a gente isola
:
Passo 4
Agora calcula o viés:
Como
(para
finito e
), o viés não é zero.
Resposta
O estimador
é tendencioso para
, com viés