Seja (X1, X2, ldots, Xn) uma amostra de tamanho n de uma variável aleatória X com média mu e desvio padrão sigma.
Mostre que barX^2 é um estimador tendencioso de mu^2.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos uma amostra Var(bar X)=E[bar X^2] - l(E[bar X]r)^2 de uma variável aleatória que tem média e desvio padrão . A gente quer mostrar que o estimador (o quadrado da média amostral) é tendencioso para estimar .
Conteúdo envolvido: teoria de estimadores, cálculo de expectativa, variância e definição de viés (bias). Vamos precisar lembrar da relação
e do fato de que e .

Passo 2

Definindo o viés do estimador Biasl(bar X^2r) = El[bar X^2r] - mu^2 :
Se esse viés for diferente de zero, o estimador é tendencioso. Então nosso job é achar .

Passo 3

Usamos a identidade que liga variância e expectativa ao segundo momento:
Como a média amostral tem Var(bar X) =El[bar X^2r] - l(E[bar X]r)^2 e , a gente isola E[bar X^2] = Var(bar X) + l(E[bar X]r)^2 = sigma^2n + mu^2 :

Passo 4

Agora calcula o viés:
Biasl(bar X^2r) = E[bar X^2] - mu^2 = l(sigma^2n + mu^2r) - mu^2 = sigma^2n
Como (para finito e ), o viés não é zero.

Resposta

O estimador Biasl(bar X^2r)=sigma^2nneq 0 é tendencioso para , com viés

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