Seja X1, X2, ldots, Xn uma amostra de uma variável aleatória com função de densidade dada por: f(x)=1alpha exp -1alpha x.
Seja alpha=a barX.
Obtenha a tendenciosidade de alpha=a barX;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma amostra f(x)=1alphae^-x/alpha, x>=0 que vem de uma distribuição Exponencial com parâmetro , ou seja
Definimos o estimador , onde .
O que pedem é a “tendenciosidade” (viés) de .
Conteúdo: teoria de esperança (valor esperado) de variáveis aleatórias e definição de viés de um estimador.

Passo 2

Vamos primeiro lembrar como calcular o valor esperado da média amostral E[bar X] ;=; E!l[tfrac1nsumi=1^n Xir] =tfrac1nsumi=1^n E[Xi] =tfrac1n,n,mu =mu .
– Teoria: se E[Xi]=alpha são i.i.d. e E[bar X]=alpha , então
No nosso caso, para a distribuição Exponencial com densidade , a média (esperança) é
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Passo 3

Agora, queremos achar o viés (tendenciosidade) de Bias(hattheta) =E[hattheta]-theta .
– Teoria: o viés de um estimador E[hatalpha] =E[a,bar X] =a,E[bar X] =a,alpha é definido como
Bias(hatalpha) =E[hatalpha]-alpha =a,alpha-alpha =alpha,(a-1)
Aqui (o parâmetro verdadeiro).
Então calculamos :
Portanto o viés é

Resposta

O viés (tendenciosidade) de Bias(hatalpha)=alpha,(a-1) é

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