Suponha que a função de densidade dada por
, se
descreve o tempo de vida de uma lâmpada. Obtenha estimadores pelo método dos momentos e pelo método da máxima verossimilhança para o parâmetro
.
Passo 1
Beleza, olha só o que tá rolando: a lâmpada tem vida útil modelada por
Isso é tipo uma exponencial “deslocada” de 2 unidades. A matéria aqui é “estimadores de parâmetro” e vamos usar dois jeitos:
- Método dos Momentos (MM)
- Máxima Verossimilhança (MV)
Pra resolver, a gente vai precisar saber como calcular a esperança dessa distribuição e montar a função de verossimilhança, pegando derivada e igualando a zero.
Passo 2
Método dos Momentos:
- Teoria: a ideia é igualar o momento empírico (a média amostral
) ao momento teórico (a esperança ). - Primeiro, qual é
? Se tem densidade pra , então e Como , - No método dos momentos, a gente bota
daí isola :
Passo 3
Método da Máxima Verossimilhança:
- Escreve a verossimilhança pra uma amostra
: - Passa pro log (pra facilitar):
- Deriva em relação a
e iguala a zero: - Note que
, então
Resposta
Os dois estimadores ficam iguais:
Método dos Momentos:
Máxima Verossimilhança:
Método dos Momentos:
Máxima Verossimilhança: