Suponha que a função de densidade dada por f(x)=lambda exp -lambda(x-2), se x>2 descreve o tempo de vida de uma lâmpada. Obtenha estimadores pelo método dos momentos e pelo método da máxima verossimilhança para o parâmetro lambda.

Passo 1

Beleza, olha só o que tá rolando: a lâmpada tem vida útil modelada por
f(x)=lambda e^-lambda(x-2), x>2
Isso é tipo uma exponencial “deslocada” de 2 unidades. A matéria aqui é “estimadores de parâmetro” e vamos usar dois jeitos:
  1. Método dos Momentos (MM)
  2. Máxima Verossimilhança (MV)
    Pra resolver, a gente vai precisar saber como calcular a esperança dessa distribuição e montar a função de verossimilhança, pegando derivada e igualando a zero.

Passo 2

Método dos Momentos:
  1. Teoria: a ideia é igualar o momento empírico (a média amostral E[Y]=1lambda) ao momento teórico (a esperança E[X]=E[Y]+2 = 2 + 1lambda).
  2. Primeiro, qual é bar X = 2 + 1lambda,? Se lambdaMM = 1bar X - 2 tem densidade pra , então e Como ,
  3. No método dos momentos, a gente bota daí isola :

Passo 3

Método da Máxima Verossimilhança:
  1. Escreve a verossimilhança pra uma amostra L(lambda) = prodi=1^n lambda e^-lambda(xi-2) = lambda^n exp-lambdasumi=1^n(xi-2): ell(lambda) = ln L(lambda) = nlnlambda ;-;lambdasumi=1^n(xi-2)
  2. Passa pro log (pra facilitar): delldlambda = nlambda ;-;sumi=1^n(xi-2) = 0 ;Longrightarrow; hatlambdaMV = nsumi=1^n(xi-2)
  3. Deriva em relação a hatlambdaMV = nn(bar X-2) = 1bar X-2 e iguala a zero:
  4. Note que , então

Resposta

Os dois estimadores ficam iguais:
Método dos Momentos:
Máxima Verossimilhança:

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