Seja X1, X2, ldots, Xn uma amostra de uma variável aleatória com função de densidade dada por: f(x)=1alpha exp -1alpha x.
Seja alpha=a barX.
Determine o valor de a que minimiza M S E[a barX], como um estimador para a média de X .

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que temos uma amostra iid f(x)=1alpha exp!-tfrac xalpha, x>=0 de uma distribuição exponencial com parâmetro hatalpha = a,bar X, , cuja densidade é
A média verdadeira dessa exponencial é . A gente constrói um estimador da média assim:
onde . Nosso objetivo é achar o valor de que minimiza o erro quadrático médio (MSE) de ao estimar .
Conteúdo: teoria de MSE, que é Variância + Viés², e otimização (derivada).
O que precisamos:
  1. Calcular viés e variância de .
  2. Montar o MSE é.
  3. Derivar em função de e achar o mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de duas coisas:
  1. Viés de um estimador MSE(hattheta)=El[(hattheta-theta)^2r] =underbraceVar(hattheta)variação+underbracel(Bias(hattheta)r)^2viés^2 de é
  2. MSE é
çãé
No nosso caso, e .

Passo 3

Calculemos o viés:
E[hatalpha] =E[abar X] =a,E[bar X]
Como Bias(hatalpha) =E[hatalpha]-alpha = a,alpha-alpha =(a-1),alpha é média de variáveis exponenciais de média , .
Então

Passo 4

Agora a variância de Var(hatalpha) =Var(abar X) =a^2,Var(bar X) :
Var(hatalpha) =a^2,alpha^2n
E , média de exponenciais independentes com variação , tem

Logo

Passo 5

Vamos montar o MSE:
MSE(a) =Var(hatalpha)+l(Bias(hatalpha)r)^2 =a^2,alpha^2n+(a-1)^2alpha^2
Podemos colocar MSE(a) =alpha^2l(tfraca^2n+(a-1)^2r) em evidência:

Passo 6

Para achar o ddal(tfraca^2n+(a-1)^2r) =2an+2(a-1) =0 que minimiza, derivamos em relação a 2an+2a-2=0 Longrightarrow 2al(tfrac1n+1r)=2 Longrightarrow al(tfracn+1nr)=1 Longrightarrow a=nn+1 e igualamos a zero:
Simplificando:

Resposta

O valor de boxeda=nn+1 que minimiza o MSE de como estimador da média é

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