Seja uma amostra de uma variável aleatória com função de densidade dada por: .
Seja .
Determine o valor de que minimiza , como um estimador para a média de X .
Passo 1
Beleza! O enunciado diz que temos uma amostra iid de uma distribuição exponencial com parâmetro , cuja densidade é
A média verdadeira dessa exponencial é . A gente constrói um estimador da média assim:
onde . Nosso objetivo é achar o valor de que minimiza o erro quadrático médio (MSE) de ao estimar .
Conteúdo: teoria de MSE, que é Variância + Viés², e otimização (derivada).
O que precisamos:
Calcular viés e variância de .
Montar o MSE .
Derivar em função de e achar o mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de duas coisas:
Viés de um estimador de é
MSE é
No nosso caso, e .
Passo 3
Calculemos o viés:
E[hatalpha] =E[abar X] =a,E[bar X]
Como Bias(hatalpha) =E[hatalpha]-alpha = a,alpha-alpha =(a-1),alpha é média de variáveis exponenciais de média , .
Então
Passo 4
Agora a variância de Var(hatalpha) =Var(abar X) =a^2,Var(bar X) :
Var(hatalpha) =a^2,alpha^2n
E , média de exponenciais independentes com variação , tem
Logo
Podemos colocar MSE(a) =alpha^2l(tfraca^2n+(a-1)^2r) em evidência:
Passo 6
Para achar o ddal(tfraca^2n+(a-1)^2r) =2an+2(a-1) =0 que minimiza, derivamos em relação a 2an+2a-2=0 Longrightarrow 2al(tfrac1n+1r)=2 Longrightarrow al(tfracn+1nr)=1 Longrightarrow a=nn+1 e igualamos a zero:
Simplificando:
Resposta
O valor de boxeda=nn+1 que minimiza o MSE de como estimador da média é