2 (2 pontos) Determine o trabalho realizado pelo campo de força
sobre um objeto que se move Sobre uma curva
, onde
e
é parametrizada por
, com
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o trabalho realizado pelo campo de força
ao longo da curva
. As informações dadas são:
- O campo de força é
. - A curva
está parametrizada por , com . - A pergunta é: qual é o trabalho realizado por
sobre um objeto que se move ao longo de no sentido dado pela parametrização?
Passo 2
Vou explicar a fórmula que usamos para calcular o trabalho: o trabalho de um campo vetorial
ao longo de uma curva
orientada por uma parametrização
,
, é o integral de linha
Para uma parametrização
essa integral se transforma na integral usual em
:
Explicando cada peça:
é a velocidade (derivada componente a componente) e
é o campo avaliado nos pontos da curva; o produto escalar dá a componente tangencial do campo, que é a que realiza trabalho. Aqui
e
.
Passo 3
Calculemos
. Derivando cada componente de
:
- a derivada de
é , - a derivada de
é , - a derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Agora avaliamos o campo
ao longo da curva, ou seja, substituímos
,
,
em
. Fazendo isso componente a componente:
- a componente
fica , - a componente
fica , - a componente
fica .
Logo
Passo 5
Calculemos o produto escalar
. Multiplicando componente a componente e somando:
Agora simplificamos termo a termo:
Somando:
Passo 6
Agora integramos de
a
:
Encontre uma primitiva: uma antiderivada de
é
e de
é
. Portanto uma primitiva é
. Avaliando nos limites,
Calcule cada parte:
Subtraindo:
Passo 7
Interpretação rápida e encorajamento: o trabalho vale
. O sinal negativo quer dizer que, ao longo do percurso parametrizado de
a
, o campo realizou trabalho no sentido oposto ao deslocamento médio (ou seja, o campo “opôs-se” ao movimento, em média). Mandou bem chegando até aqui — a técnica é sempre a mesma: parametrizar, avaliar o campo na curva, fazer o produto escalar com a velocidade e integrar.