2 (2 pontos) Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y, z) sobre um objeto que se move Sobre uma curva C, onde F(x, y, z)=x \vec{i}-z \vec{j}+y \vec{k} e C é parametrizada por r(t)=\left(2 t, 3 t,-t^{2}\right), com t \in[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para determinar o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z) ao longo da curva C. As informações dadas são:
  • O campo de força é F(x,y,z)=x\vec{i}-z\vec{j}+y\vec{k}.
  • A curva C está parametrizada por r(t)=\bigl(2t,\,3t,\,-t^{2}\bigr), com t\in[-1,1].
  • A pergunta é: qual é o trabalho realizado por F sobre um objeto que se move ao longo de C no sentido dado pela parametrização?

Passo 2

Vou explicar a fórmula que usamos para calcular o trabalho: o trabalho de um campo vetorial \mathbf{F} ao longo de uma curva C orientada por uma parametrização r(t), t\in[a,b], é o integral de linha
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Para uma parametrização r(t) essa integral se transforma na integral usual em t:
W=\int_{a}^{b}\mathbf{F}\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t)\,dt.
Explicando cada peça: r'(t) é a velocidade (derivada componente a componente) e \mathbf{F}\bigl(r(t)\bigr) é o campo avaliado nos pontos da curva; o produto escalar dá a componente tangencial do campo, que é a que realiza trabalho. Aqui a=-1 e b=1.

Passo 3

Calculemos r'(t). Derivando cada componente de r(t)=\bigl(2t,\,3t,\,-t^{2}\bigr):
  • a derivada de 2t é 2,
  • a derivada de 3t é 3,
  • a derivada de -t^{2} é -2t.
    Portanto
r'(t)=\bigl(2,\,3,\,-2t\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos o campo \mathbf{F} ao longo da curva, ou seja, substituímos x=2t, y=3t, z=-t^{2} em \mathbf{F}(x,y,z)=x\vec{i}-z\vec{j}+y\vec{k}. Fazendo isso componente a componente:
  • a componente i fica x=2t,
  • a componente j fica -z=-(-t^{2})=t^{2},
  • a componente k fica y=3t.
    Logo
\mathbf{F}\bigl(r(t)\bigr)=\bigl(2t,\,t^{2},\,3t\bigr).

Passo 5

Calculemos o produto escalar \mathbf{F}\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t). Multiplicando componente a componente e somando:
\mathbf{F}\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t)=(2t)\cdot 2 + (t^{2})\cdot 3 + (3t)\cdot(-2t).
Agora simplificamos termo a termo:
(2t)\cdot 2 = 4t,\qquad (t^{2})\cdot 3 = 3t^{2},\qquad (3t)\cdot(-2t) = -6t^{2}.
Somando:
\mathbf{F}\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t)=4t + 3t^{2} - 6t^{2} = 4t - 3t^{2}.

Passo 6

Agora integramos de t=-1 a t=1:
W=\int_{-1}^{1}\bigl(4t - 3t^{2}\bigr)\,dt.
Encontre uma primitiva: uma antiderivada de 4t é 2t^{2} e de -3t^{2} é -t^{3}. Portanto uma primitiva é 2t^{2}-t^{3}. Avaliando nos limites,
W=\bigl[\,2t^{2}-t^{3}\,\bigr]_{-1}^{1} = \bigl(2\cdot 1^{2}-1^{3}\bigr) - \bigl(2\cdot (-1)^{2}-(-1)^{3}\bigr).
Calcule cada parte:
\text{em }t=1:\;2-1=1,\qquad \text{em }t=-1:\;2-(-1)=3.
Subtraindo:
W=1-3=-2.

Passo 7

Interpretação rápida e encorajamento: o trabalho vale -2. O sinal negativo quer dizer que, ao longo do percurso parametrizado de t=-1 a t=1, o campo realizou trabalho no sentido oposto ao deslocamento médio (ou seja, o campo “opôs-se” ao movimento, em média). Mandou bem chegando até aqui — a técnica é sempre a mesma: parametrizar, avaliar o campo na curva, fazer o produto escalar com a velocidade e integrar.

Resposta

-2

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