Seja X uma v.a. (variável aleatória) contínua e f(x)=\left\{\begin{array}{ll}c\left(4 \mathrm{x}-2 \mathrm{x}^{2}\right) & 0 \leq x \leq 2 \\\\ 0 & \text { c.c. }\end{array}\right. é uma f.d.p. .
a) Determine c . 0,375
b) Calcule P(x>1) . \quad 0,5
c) Determine E(X). 1
d) Determine \operatorname{VAR}(X) 0,2
e) Calcule P(x \leq 2,5). 1
Passo 1
O enunciado fornece a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória contínua X\):
\[f(x)=\begin{cases} c\bigl(4x-2x^{2}\bigr), & 0\le x\le 2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
As perguntas são:
a) Determinar c\].
b) Calcular \(P(X>1).
c) Determinar E(X).
d) Determinar \operatorname{VAR}(X).
e) Calcular P(X\le 2,5).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A f.d.p. é nula fora do intervalo [0,2].
Para x\in[0,2], f(x)=c(4x-2x^2).
Para achar c devemos usar a condição de normalização \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.
Probabilidades e momentos (esperança, variância) de X serão obtidos por integrais envolvendo f(x).]
Passo 2
Determinar c usando a condição de normalização. A f.d.p. integra 1 em toda a reta, mas é não nula só em [0,2], então:
Calcular P(X\le 2{,}5). Observação importante: a f.d.p. é nula para x>2. Assim qualquer probabilidade envolvendo valores maiores que 2 se reduz ao total até 2. Em particular,
P(X\le 2{,}5)=P(X\le 2)=\int_{0}^{2} f(x)\,dx.
Pela normalização essa integral vale 1. Logo
P(X\le 2{,}5)=1.
Resposta
a) c=\dfrac{3}{8}=0,375
b) P(X>1)=0,5
c) E(X)=1
d) \operatorname{VAR}(X)=0,2
e) P(X\le 2{,}5)=1