Seja X uma v.a. (variável aleatória) contínua e f(x)=\left\{\begin{array}{ll}c\left(4 \mathrm{x}-2 \mathrm{x}^{2}\right) & 0 \leq x \leq 2 \\\\ 0 & \text { c.c. }\end{array}\right. é uma f.d.p. .
a) Determine c . 0,375
b) Calcule P(x>1) . \quad 0,5
c) Determine E(X). 1
d) Determine \operatorname{VAR}(X) 0,2
e) Calcule P(x \leq 2,5). 1

Passo 1

O enunciado fornece a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória contínua X\): \[f(x)=\begin{cases} c\bigl(4x-2x^{2}\bigr), & 0\le x\le 2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
As perguntas são:
a) Determinar c\]. b) Calcular \(P(X>1).
c) Determinar E(X).
d) Determinar \operatorname{VAR}(X).
e) Calcular P(X\le 2,5).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A f.d.p. é nula fora do intervalo [0,2].
  • Para x\in[0,2], f(x)=c(4x-2x^2).
  • Para achar c devemos usar a condição de normalização \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.
  • Probabilidades e momentos (esperança, variância) de X serão obtidos por integrais envolvendo f(x).]

Passo 2

Determinar c usando a condição de normalização. A f.d.p. integra 1 em toda a reta, mas é não nula só em [0,2], então:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{0}^{2} c\bigl(4x-2x^{2}\bigr)\,dx = 1.
Fatorando c:
c\int_{0}^{2} (4x-2x^{2})\,dx = 1.
Agora calculamos a integral interior. Vou integrar termo a termo:
\int (4x)\,dx = 2x^{2},\qquad \int (-2x^{2})\,dx = -\frac{2}{3}x^{3}.
Assim,
\int_{0}^{2} (4x-2x^{2})\,dx = \Bigl[2x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\Bigr]_{0}^{2}.
Avalia em x=2:
2\cdot 2^{2}-\frac{2}{3}\cdot 2^{3} = 2\cdot 4 - \frac{2}{3}\cdot 8 = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24-16}{3}=\frac{8}{3}.
Portanto a equação de normalização é
c\cdot \frac{8}{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{3}{8}.
Em decimal, \displaystyle c=\frac{3}{8}=0,375.

Passo 3

Calcular P(X>1). Como a densidade é nula fora de [0,2],
P(X>1)=\int_{1}^{2} f(x)\,dx = \int_{1}^{2} c(4x-2x^{2})\,dx.
Usamos c=\dfrac{3}{8} e a primitiva já encontrada:
\int (4x-2x^{2})\,dx = 2x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}.
Então
\int_{1}^{2} (4x-2x^{2})\,dx = \Bigl[2x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\Bigr]_{1}^{2}.
Calculando os valores:
em x=2 obteve-se antes \dfrac{8}{3}. Em x=1:
2\cdot1^{2}-\frac{2}{3}\cdot1^{3}=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
A diferença:
\frac{8}{3}-\frac{4}{3}=\frac{4}{3}.
Multiplicando por c=\dfrac{3}{8}:
P(X>1)=\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=0,5.

Passo 4

Determinar E(X). A fórmula da esperança para variável contínua é
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Aqui só integraremos em [0,2]:
E(X)=\int_{0}^{2} x\cdot c(4x-2x^{2})\,dx = c\int_{0}^{2} (4x^{2}-2x^{3})\,dx.
Calcule as primitivas termo a termo:
\int 4x^{2}\,dx = \frac{4}{3}x^{3},\qquad \int -2x^{3}\,dx = -\frac{1}{2}x^{4}.
Portanto
\int_{0}^{2} (4x^{2}-2x^{3})\,dx = \Bigl[\frac{4}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{4}\Bigr]_{0}^{2}.
Avalia em x=2:
\frac{4}{3}\cdot 8 - \frac{1}{2}\cdot 16 = \frac{32}{3} - 8 = \frac{32-24}{3}=\frac{8}{3}.
Multiplicando por c=\dfrac{3}{8}:
E(X)=\frac{3}{8}\cdot\frac{8}{3}=1.

Passo 5

Determinar \operatorname{VAR}(X). A variância é
\operatorname{VAR}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.
Já temos E(X)=1. Vamos calcular E(X^{2}):
E(X^{2})=\int_{0}^{2} x^{2}\,f(x)\,dx = c\int_{0}^{2} x^{2}(4x-2x^{2})\,dx = c\int_{0}^{2} (4x^{3}-2x^{4})\,dx.
Primitivas:
\int 4x^{3}\,dx = x^{4},\qquad \int -2x^{4}\,dx = -\frac{2}{5}x^{5}.
Então
\int_{0}^{2} (4x^{3}-2x^{4})\,dx = \Bigl[x^{4}-\frac{2}{5}x^{5}\Bigr]_{0}^{2}.
Avalia em x=2:
2^{4}-\frac{2}{5}\cdot 2^{5} = 16 - \frac{2}{5}\cdot 32 = 16 - \frac{64}{5} = \frac{80-64}{5}=\frac{16}{5}=3{,}2.
Multiplicando por c=\dfrac{3}{8}:
E(X^{2})=\frac{3}{8}\cdot\frac{16}{5}=\frac{48}{40}=\frac{6}{5}=1{,}2.
Portanto
\operatorname{VAR}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=1{,}2 - 1^{2}=0{,}2.

Passo 6

Calcular P(X\le 2{,}5). Observação importante: a f.d.p. é nula para x>2. Assim qualquer probabilidade envolvendo valores maiores que 2 se reduz ao total até 2. Em particular,
P(X\le 2{,}5)=P(X\le 2)=\int_{0}^{2} f(x)\,dx.
Pela normalização essa integral vale 1. Logo
P(X\le 2{,}5)=1.

Resposta

a) c=\dfrac{3}{8}=0,375
b) P(X>1)=0,5
c) E(X)=1
d) \operatorname{VAR}(X)=0,2
e) P(X\le 2{,}5)=1

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